Tamtam Proceedings - lamsin

Dimensions fractales 263sont des constantes positives à signification physique ; la constante s est le nombre dePrandtl de l’air (le nombre de Prandtl signifie la viscosité et la conductivité thermique), bdépend du rapport entre la largeur et la hauteur de la couche du fluide, et r est un paramètrede contrôle représentant la différence entre la plus basse et la plus haute températuresdu système. Signalons que la non-linéarité des deuxième et troisième équations résultede la non-linéarité des équations du flot. E. N. Lorenz a étudié de façon particulière lecas où : σ = 10, b = 8/3, r = 28. Dans ce cas, les trajectoires se concentrent surun attracteur de structure très compliquée ; appelé attracteur de Lorenz. Ces trajectoiresne se coupent jamais. En fait, elles ne sont pas périodiques. La suite des lacets que cestrajectoires effectuent est entièrement sensible au changement des conditions initiales. Enconséquence, il est impossible de prévoir le détail sauf pendant un très court intervalle detemps. Il est clair que l’attracteur de Lorenz est un ensemble fractal. En voici le résultatde l’estimation de sa dimension fractale :Théorème 1. ([4]) Les dimensions fractales de Hausdorff et de Boîtes de l’attracteur deLorenz, avec les valeurs traditionnelles (10, 8/3, 28) du triplet (s, b, r) sont toutes lesdeux égales à 2.06.5. Equations de Navier-StokesÀ de grandes vitesses, le comportement des fluides visqueux devient turbulent, avecdes irrégularités à différentes échelles ; décrivant ainsi des trajectoires qui sont des fractals,dont on pourra estimer la dimension fractale. D’après [1], dans cette discipline, leconcept de dimension voit son rôle croître toujours un peu plus. Par la suite, il s’agit dedonner des bornes des dimensions fractales des attracteurs pour les équations de Navier-Stokes, et ainsi leur traduction physique, à savoir, l’estimation du nombre de degré deliberté d’un flot turbulent. L’équation de Navier-Stokes, équation différentielle fondamentalede l’étude de la dynamique des fluides, peut s’écrire sous la forme suivante :∂u/∂t + (u.∇)u − v∇ 2 u + ∇p = foù u est la vitesse de dissipation, p la pression, v la viscosité et f la fonction densité.D’après [4], déduire l’existence de régions d’activité fractales à partir des équations deNavier-Stokes est loin d’être simple. Cependant, en utilisant l’équation de Poisson, onpeut prouver que :Théorème 2. ([4]) L’ensemble des solutions u(x, t) de l’équation de Navier-Stokes est dedimension inférieure ou égale à 2.5.Soit F un attracteur pour les opérations de Navier-Stokes. Dans le reste de cette section,nous énoncerons un résultat de [1] donnant une majoration fondamentale du nombre dedegré de liberté, i.e. de la dimension fractale de l’attracteur F , en fonction de la longueurde Kolmogorov :Définition 3. Si ɛ est la vitesse de dissipation de l’énergie par unité de masse et de temps,on définit la longueur de Kolmogorov par : l d = (v 3 /ɛ) 1/4 et la longueur typique par :TAMTAM –Tunis– 2005