Tamtam Proceedings - lamsin

Bifurcations de bassins d’attraction 1414. Application de BogdanovL’application de Bogdanov est définie dans tout le plan R 2 par les équations suivantes[1] :{ xT (x, y) =′ = x + y + a.y + b.x(x − 1) + c.x.yy ′ (6)= y + a.y + b.x(x − 1) + c.x.yoù a, b, c sont des paramètres réels. L’application de Bogdanov est une application inversible,dont une des composantes de l’inverse T −1 est avec dénominateur. L’inverse T −1est donné par :{x = x ′ − y ′T −1 (x ′ , y ′ ) =y = y′ −b(x ′ −y ′ )(x ′ −y ′ −1)1+a+c(x ′ −y ′ ). (7)L’ensemble de non-définition δ s de T −1 est donné par l’équation suivante :y = x + 1+ac .La matrice Jacobienne de T est égale à :[ ]1 + 2bx − b + cy 1 + a + cxDT (x, y) =.2bx − b + cy 1 + a + cxSon Jacobien det DT (x, y) = 1 + a + cx s’annule sur la courbe d’équation x = (−1 −a)/c. L’image de cette courbe se réduit à un point Q de coordonnées(k + b.k(k − 1), b.k(k − 1))où k = (−1 − a)/c. Par conséquent, ce point est un point focal de T −1 et la courbed’équation x = (−1 − a)/c est la courbe préfocale associée. Pour a = 0.12, l’applicationT a un attracteur, qui est une courbe fermée invariante résultant d’une bifurcation deNeimark-Hopf. Le point focal de T −1 se trouve à l’intersection de δ s et de T (δ s ), et est àl’intérieur du bassin d’attraction de la courbe fermée invariante. Ainsi la courbe préfocaleassociée et ses images par T −1 sont dans le bassin d’attraction. Ce qui donne un bassinnon borné, avec une frontière asymptotique à la courbe préfocale et à ses images par T −1 .On remarque aussi que l’attracteur ne touche pas la courbe préfocale et donc le pointfocal.5. Bibliographie[1] D.K. ARROWSMITH, « The Bogdanov Map : Bifurcation, Mode Locking, and Chaos in DissipativeSystem », International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 3, 1993, pp. 803-842.[2] L. BILLINGS, J.H. CURRY, « On noninvertible maps of the plane : Eruption », CHAOS, 6,1996, pp. 108-119.[3] G.I. BISCHI, A. NAIMZADA, « Maps with denominator. Part 1 : some generic properties »,Economic Notes, Vol. 26, N3, 1997, pp. 143-174.TAMTAM –Tunis– 2005