Tamtam Proceedings - lamsin

342 A. Laouar et al.1. IntroductionDans cet article, nous nous intéressons à l’étude d’une procédure d’accélération deconvergence d’itérations à comportement monotones. Plus particulièrement, nous étudionsl’accélération des méthodes des approximations successives (u k+1 = T u k +c, k =0, 1..) dans un contexte d’ordre partiel. Cette procédure a été proposée initialement parM.Falcone et J.C.Miellou [7] en 1979 pour la résolution des systèmes linéaires et a étéétendue ensuite par M.N. El-Tarazi [4] en 1981 pour les systèmes non linéaires. Elleconsiste à interrompre les itérations de la suite ( u k ), k = 0, 1, .., produite par la méthodeitérative à certaine étape bien déterminée, en remplaçant u k par ũ k (où ũ k est l’extrapolationde u k+1 et u k + η k ( u k − u k−1 )), et on redémarre l’algorithme. Cette suite ũ kest plus proche de la solution exacte que les itérés u k+1 et u k et de plus elle préservela proporiété de la monotonie. Nous appliquons cette procédure pour la résolution desgrands systèmes ou bien aussi dans le cas où le rayon spectral ρ(T ) de la matrice T estvoisin de un.Pour l’ illustration de cette procédure, nous proposons la résolution numérique d’uneclasse de problème à frontière libre formulée en terme d’inéquations variationnelles avecobstacle{ a(u, u − v) ≥ (f, v − u)L2 (Ω)u ≤ Ψ, u ≤ voù a est une forme bilinéaire, Ψ l’obstacle et f une fonction donnée.Dans les sections 1 et 2, on posera le problème continu avec les hypothèses nécessaires.On donnera ensuite les analogues discrets du problème et l’application de point fixe discrète.Dans la section 3, nous faisons la description de cette procédure et nous énonçonsdeux théorèmes essentiels. Enfin, dans la dernière section nous présentons les résultatsnumériques.2. Position du problèmeSoit Ω un domaine borné de R n , polygonal et convexe. Considérons le problème del’inéquation variationnelle (I.V.) suivant :⎧⎨ Trouver u telle que(P ) a(u, u − v) ≥ (f, v − u)⎩L2 (Ω)u ≤ Ψ, v ≤ Ψoù a( , ) est une forme bilinéaire, définie parn∑ ∑∫a(u, v) =i,j=1Ωa ij (x) ∂u ∂vdx +∂x i ∂x jn∑∫j=1Ωa j (x) ∂u ∫vdx + a 0 (x)uvdx. (1)∂x j ΩTAMTAM –Tunis– 2005