Tamtam Proceedings - lamsin

240 Frih et al.et dans la fracture, on a le système d’équations suivant :(1 + a|u f |)u f = −k f ∇p f dans Ω fdivu f = q f dans Ω fp f = ¯p f sur Γ fp f = p i sur γ i , i = 1, 2.(5)Comme dans [8], nous allons traiter la fracture comme une interface entre les domainesΩ 1 et Ω 2 . Le modèle est obtenu en faisant la moyenne de u f et p f à travers la fracture.Concernant la conservation, on écrit une équation de conservation sur la surface γ avecun terme d’échange avec les sous-domaines. Quant’à l’équation de Forchheimer on ladécompose suivant la direction normale et tangentielle, et en pratique on considère quela loi de Forchheimer s’applique uniquement dans la direction tangentielle, celle de lafracture. Dans la direction normale c’est simplement la loi de Darcy qui s’applique.Soit ∇ τ et div τ le gradient tengentiel et la divergence tangentielle, et soit ∇ n et div nle gradient normal et la divergence normale. On décompose u f comme u f = u f,n + u f,τavec u f,n = u f · n.4.1. Équation de conservation de sur γ :En décomposant u f et l’intégrant suivant la direction normale de la fracture, la deuxièmeéquation du système (5) devient une nouvelle équation de conservation donnée pardiv τ U f = Q f + (u 1 · n 1|γ + u 2 · n 2|γ ) (6)où Q f =∫ d2− d 2q f dn, U f =∫ d2− d 2u f,τ dnet d est l’épaisseur de la fracture.4.2. Équation de Forchheimer sur γ :En supposant que la loi de Forchheimer ne s’applique que dans la direction normale àγ, la décomposition de la premiére équation du système (5) suivant la direction normaleet tangentielle donne le système suivant(1 + a |u f |) u f,τ = −k f,τ ∇ τ p fu f,n = −k f,n ∇ n p f .(7)En intégrant à travers la fracture le système d’équations (7), et en utilisant une formuled’intégration du trapèze appropriée dans ce cas, on obtient :(1 + a d |U f | ) U f = −k f,τ d ∇ τ P f ,d2 (u 1 · n |γ + u 2 · n |γ ) = −k f,n (p 2|γ − p 1|γ ).(8)TAMTAM –Tunis– 2005