Tamtam Proceedings - lamsin

Stabilisation et commande des équations 59Nous énonçons, alors, le théorème ci-dessous dont la démonstration est détaillée dans[2] :Théorème 2.1 soient y 0 ∈ H 1 (Ω), z 0 ∈ H 1 (Ω) et q ∈ H 1 (0, ∞). Alors le système(1)-(3) admet une solution unique (y, z) telle que(y, z) ∈ H 1 (0, ∞; H 1 (Ω)) × L 2 (0, ∞; H 2 (Ω)) ∩ H 1 (0, ∞; L 2 (Ω)).Le système (1)-(3) peut s’écrire sous la forme abstraite suivante : (y ′ , z ′ )(t) = A(y, z)(t)+F (t), (y, z)(0) = (y 0 , z 0 ). Dans ce cas, nous avons le résultat suivant dont la preuve setrouve dans [2] :Théorème 2.2 (e At ) t≥0 est un semi-groupe continu et exponentiellement stable sur L 2 (Ω)×L 2 (Ω), c’est-à-dire qu’il existe une constante ω > 0 telle que‖(y, z)(·, t)‖ L2 (Ω)×L 2 (Ω) ≤ e −ωt ‖(y 0 , z 0 )‖ L2 (Ω)×L 2 (Ω), ∀ t > 0.3. Contrôle frontière du système de Saint-VenantNous nous intéressons à un problème de commande optimale frontière (de type Dirichlet)du système (1)-(3). Nous agissons sur les conditions de Dirichlet afin d’atteindreun état désiré. Nous proposons donc de minimiser une fonctionnelle coût J dépendant del’état (y, z) et de la commande q et ce en faisant varier q dans un espace admissible U ad .Ainsi le problème de contrôle posé en horizon infini s’écrit comme suit :minq∈U ad{J(y, z, q) := 1 2∫ +∞0‖y(t)‖ 2 L 2 (Ω) dt + 1 2∫ +∞0‖z(t)‖ 2 L 2 (Ω) dt + 1 2 ‖q‖2 U ad}où le couple (y, z) est solution de (1)-(3) et U ad est l’ensemble des contrôles admissibles :U ad ={q ∈ H 1 (0, ∞), q(0) = z 0 (1),∫ t0q(s) ds ∈ L 2 (0, ∞),∫ +∞0}q(s) ds = 0 .Afin de simplifier l’étude de ce problème, nous proposons de le transformer de la manièresuivante :{1min ˜J(y, z, Q, v) :=v∈L 2 (0,∞)2 ‖y‖2 L 2 (Ω + 1 t)2 ‖z‖2 L 2 (Ω + 1 }t)2 ‖v‖2 L 2 (0,∞) (6)où l’état augmenté (y, z, Q) est solution du système couplé (1)-(3) etQ ′′ + 2Q ′ + Q = v, Q(0) = 0, Q ′ (0) = z 0 (1), (Q est définie par(4)). (7)L’équivalence des deux problèmes est vérifiée sans difficultés notables.(5)TAMTAM –Tunis– 2005