Tamtam Proceedings - lamsin

60 ArfaouiLe système adjoint associé au problème (6) est donné par le système couplé :P ′′ − 2P ′ + P = f, P (∞) = 0, P ′ (∞) = 0 (8)−∂ t ϕ + a∂ x ψ = y − Q, −∂ t ψ + ∂ x ϕ = ν∂ xx ψ + z, (9)ψ(∞) = ϕ(∞) = 0, ψ(0, t) = ψ(1, t) = 0, (10)où f = −Q ′ + 2Q + ν∂ x ψ(1, ·) − ϕ(1, ·) et (y, z, Q) est la solution de (1)-(3) et (7).Nous avons le résultat suivant dont les détails de la démonstration sont consignés dans[2].Théorème 3.1 Le problème (9)-(10) admet une solution unique (ϕ, ψ) telle que(ϕ, ψ) ∈ H 1 (0, ∞; H 1 (Ω)) × L 2 (0, ∞; H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω)) ∩ H 1 (0, ∞; L 2 (Ω)). (11)De plus, pour tout ε > 0, on a(ϕ, ψ) ∈ H 1 2 −ε (0, ∞; H 1 2 +ε (Ω)) × H 1 4 − ε 2 (0, ∞; H32 +ε (Ω)), ε > 0.En outre, il existe une constante γ > 0 telle que(‖(ϕ, ψ)‖ L2 (Ω)×L 2 (Ω) ≤ ‖(y 0 , z 0 )‖ L2 (Ω)×L 2 (Ω) + |Q(t)| 2) e −γt , t > 0.REMARQUE. — Le résultat précédent nous permet de bien définir le second membre fde l’équation (8) et f ∈ L 2 (0, ∞). Par suite, le problème (8) admet une solution uniqueP ∈ H 2 (0, ∞).4. Résultats numériquesLes données : Ω = [0, 1], a = 1.4911, ν = 1.038.10 −2 ,z 0 (x) = 0, y 0 (x) = 1 si x ∈ Ω \ [0.45, 0.55], y 0 (x) = 2 3si x ∈ [0.45, 0.55].La stabilisation se fait par deux batteurs placés aux extrémités du canal qui sont modéliséspar les conditions de Dirichlet aux bords (q 0 , q 1 ). La commande optimale trouvée (enboucle fermée) est représentée dans la figure ci-dessous (figure (2)).L’état stable que nous considérons est donné par y d (x) = 1.038. La fonctionnelle ˜Jchoisie ici est˜J(y, z, Q, v) = 1 2∫ +∞0‖y − y d ‖ 2 L 2 (Ω) dt + 1 2∫ +∞0‖z‖ 2 L 2 (Ω) dt + 1 2 ‖v‖2 L 2 (0,∞) .Dans la figure (1), nous représentons le profil d’eau sans contrôle (SC) pour les instantst = 6 et t = 7.5. Pour les mêmes instants, nous représentons le profil contrôlé : en boucleouverte (BO) et en boucle fermée (BF).TAMTAM –Tunis– 2005