Tamtam Proceedings - lamsin

198 El Dabaghi et al.0 ≤ λ i ≤ 1 et3∑λ i = 1. Le but est de majorer e = ‖u − π h u‖ sur K dans une normei=1adéquate. Par un développement de Taylor de e, on obtient :e(a i ) = e(x)+ < −→ xa, ∇e(x) > + ∫ 1(1 − t)dt (1)où x un point quelconque dans K et H u le Hessien de u ; on cherche un point x où unextremum est atteint i.e. si x est strictement dans K, alors : ∇e(x) = 0 , soit encore :< ⃗v, ∇(u − π h u)(x) >= 0, pour tout ⃗v ∈ KComme e(a i ) = (u − π h u)(a i ) = 0, alors en reprenant l’équation (1), on obtient en x :e(x) = − ∫ 1(1 − t) dtAvec |H u | = R|Λ|R −1 et |Λ| = diag(|λ i |), on montre que (voir [2]) :‖e‖ ∞,K ≤ 2 9 maxy∈Kmax⃗e⊂K < ⃗v, |H u(y)|⃗v > (2)où R est la matrice des vecteurs propres et Λ la matrice des valeurs propres.Pour que le maximum sur le champ de métriques |H u | soit connu, il faut supposer quel’on sache exhiber sur K un tenseur de métrique M(K) vérifiant :max < ⃗v, |H u(x)|⃗v > | ≤ < ⃗v, M(K)⃗v >,x∈Kpour tout ⃗v ∈ E KOn obtient alors la majoration explicite suivante :‖u − π h u‖ ∞,K ≤ 2 9 max⃗v∈E K< ⃗v, M(K)⃗v > (3)T S0 0T SiiInterpolation solution SM S Ti+1T S Ti i i i+1 iiCalcul de la solution S iCalcule de la metrique M iGeneration de maillage T i+1Figure 2. Schéma classique d’adaptation de maillageAlors, l’erreur d’interpolation η (K), sur un élément K, dépend de la longueur des arêtesdu maillage et elle est estimée par :η (K) = c max⃗v∈E k< ⃗v, M(K)⃗v >TAMTAM –Tunis– 2005