Tamtam Proceedings - lamsin

Assimilation de données pour l’environnement 421∫ TJ (u, v) = 1 −1〈P0 u, u〉 + 1 〈Q −1 v(t), v(t)〉dt2 2 0+ 1 N∑〈R −1i (H i (y(t i )) − z i ) , H i (y(t i )) − z i 〉 (2)2i=1Les deux premiers termes de la fonctionnelle J permettent de contrôler les inconnues uet v afin que la solution reste physique et le dernier terme contrôle l’écart entre la solutiondu problème (1) et les données.La minimisation de J nécessite la connaissance de son gradient. Pour cela, on utilise laméthode de l’adjoint [4] :⎧⎪⎨⎪⎩− ∂p∂t (t, x) + A(t, x)T p(t, x) =p(T, x) = 0N∑i=1H T i R −1i (z i (x) − H i y(t i , x)) δ(t − t i ),0 < t < Ten supposant H i et A linéaires (ou en les linéarisant, le cas échéant). Le gradient de Js’écrit alors∇J (u, v).(h 1 , h 2 ) = 〈P −10 u − p(0), h 1 〉 +∫ T0(3)〈Q −1 v(t) − p(t), h 2 (t)〉dt (4)On en déduit alors le système d’optimalité que doit satisfaire le couple (ŷ, ˆp) au minimumde J : ⎧⎨ ∂ŷ(t) + A(t; ŷ) = f(t) + Qˆp(t),∂t⎩ŷ(0) = y 0 + P 0 ˆp(0),⎧⎪⎨− ∂ ˆp(5)N∑∂t (t) + A(t)T ˆp(t) = Hi T R −1i (z i − H i ŷ(t i )) δ(t − t i ),⎪⎩i=1ˆp(T ) = 0.Un des inconvénients majeurs du 4D-VAR est qu’il est difficile en pratique de tenir comptede l’erreur modèle (pour des raisons de dimensions et de coûts de calcul et stockage).Néanmoins, le 4D-VAR reste généralement la méthode utilisée de façon opérationnellepour résoudre les problèmes d’assimilation de données.3. Méthodes duales : le 4D-PSASDans le cadre de la section précédente, avec les opérateurs A et H i linéarisés, nouspouvons associer un lagrangien au problème de minimisation de J sous la contrainte demodèle :∫ TL(u, v; y; p) = J (u, v) + 〈p(t), ∂y + A(t)y(t) − f(t) − v(t)〉dt. (6)∂t0TAMTAM –Tunis– 2005