Tamtam Proceedings - lamsin

Complétion de données en élasticité plane 457(±F d , 0) (resp. (0, ±F d )), où F d est donnée. Désignons par u 1 , u 2 (u 3 = 0) les composantesdu déplacement dans le plan (O, x, y). Le modèle mathématique du problèmerevient à chercher le champ des déplacements u vérifiant :⎧∂σ ij∂x ⎪⎨ j= 0 dans Ωσ ij = a ijkh ε kh (u) dans Ω1ε kh =2 ⎪⎩( ∂u h∂x k+ ∂u (1)k∂x h) dans Ωσ ij n j = Fi d et u i = Ui d sur Γ c ; i = 1, 2.Γ c représente les bords (x 1 = ±a, x 2 = ±b), Γ ∗ désigne la frontière interne (trou).a = a ijkh est le coefficient d’élasticité du domaine. Pour des conditions aux limitessurabondantes sur les frontières Γ c et Γ ∗ , le système précèdent s’écrit :⎧∂σ ij∂x j= 0 dans Ω⎪⎨ σ ij = a ijkh ε kh (u) dans Ω⎪⎩ε kh =12 ( ∂u h∂x k+ ∂u k∂x h)dans Ωσ ij n j = Fi d et u i = Ui d sur Γ cσ ij n j = Fi ∗ et u i = Ui ∗ sur Γ ∗ ; i = 1, 2.Ce problème est scindé en deux sous-problèmes mixtes bien posés avec des conditionsaux limites différentes : l’un avec des conditions (Dirichlet, Neumann) sur (Γ c , Γ ∗ )⎧⎪⎨⎪⎩∂σ ij∂x j= 0 dans Ωσ ij = a ijkh ε kh (ǔ) dans Ωε kh = 1 2 ( ∂ǔ h∂x k+ ∂ǔ k∂x h) dans Ωσ ij n j = Fi ∗ sur Γ ∗ǔ i = Ui d sur Γ c ; i = 1, 2.(2)(3)l’autre avec des conditions aux limites (Neumann, Dirichlet) sur (Γ c , Γ ∗ )⎧⎪⎨⎪⎩∂σ ij∂x j= 0 dans Ωσ ij = a ijkh ε kh (û) dans Ωε kh = 1 2 ( ∂û h∂x k+ ∂û k∂x h) dans Ωσ ij n j = Fi d sur Γ cû i = Ui ∗ sur Γ ∗ ; i = 1, 2.(4)Le problème de Cauchy (1) est résolu lorsque le prolongement des données (U ∗ , F ∗ ) faitcoincider û et ǔ ; la solution de (1) est alors u = û = ǔ.Ceci suggère l’approche itérative suivante : partant d’une estimation quelconque de lavaleur du déplacement U ∗ sur Γ ∗ ,celle-ci est réactualisée en résolvant alternativement unproblème avec les conditions Dirichlet sur Γ c /Neumann sur Γ ∗ et un problème avec lesconditions Neumann sur Γ c /Dirichlet sur Γ ∗ . A chaque itération la condition aux limitesTAMTAM –Tunis– 2005