Tamtam Proceedings - lamsin

Problèmes d’optimisation en économie OLG 413etS (Ψ) = maxB Ψ [(U(b i−1, b i )) i≥1 ]où Ψest le critère d’optimalité consensuelle entre les différentes générations.La fonction U est supposée être concave, C 1 de D u convexe strictement de R 2 dans R,telle que l’intérieur deD = {K = (k 1 , k 2 , · · · ) ∈ l ∞+ / ∀i ≥ 1 : (k i−1 , k i ) ∈ D u }soit non vide et inclus dans l ∞ et telle que D 1 U ≻ 0. La fonction Ψ est Fréchetdifférentiablede l ∞ dans R.La décomposition du dual de l ∞ grâce au théorème de Hahn-Banach, permet la résolutionde ces deux programmes et la mise en évidence d’une condition de premier ordrecaractérisant le sentier optimal de croissance.2. Decomposition de l ∗ ∞On note l ∗ ∞ le dual de l ∞ , c le sous-ensemble de l ∞ des suites convergentes, c 0 lesous-ensemble de c des suites convergeant vers 0, l 1 le sous-ensemble de l ∞ des suites(x 1 , x 2 , ...) vérifiant ∑ n≥1 |x n| ≺ +∞ et δ ∞ la forme linéaire définie sur c par δ ∞ (x) =lim x n .Le lemme suivant sert à calculer la variable adjointe du programme P i (K), ce quipermet de déterminer une condition nécessaire de Pareto-optimalité, qui s’avérera ensuitesuffisante moyennant certaines restrictions sur le sentier de croissance. Il sert aussi à calculerce qu’on a appelé la partie infinie de la différentielle d’une fonction de l ∞ dans R,ce qui permet de déterminer une condition nécessaire d’optimalité consensuelle.Lemme : Soit y ∈ l ∗ ∞. On peut alors écrire d’une seule manière :tel que y 1 verifie :+∞∑i=1y = y 1 + y 2|y 1i | ≺ +∞et y 2 est tel que sa restriction à c est proportionnelle à δ ∞ .Remarque : La partie infinie de la différentielle d’une fonction de l ∞ dans R est donnéepar∂flim inff(x 0 + r n (h)) − f(x 0 )∂∞ (x n0) = lim‖h‖−→0,h∈c,δ ∞(h)≠0 δ ∞ (h)TAMTAM –Tunis– 2005