Tamtam Proceedings - lamsin

326 Ghorbel et al.On choisit ∆x = 1 où k ∈ N\{0}. On note cext i = c ext (x i ) qui vérifie alors c exti+kk = cext i .On s’intéresse à des solutions vi n vérifiant vn i+k = vn i +P . Ainsi, la vitesse discrète s’écrit :c i (v n ) = c exti + ∑ c 0 i−l E(vl n ) ∆xl∈Zoù c 0 i = 1 ∫[c 0 (x) dx, et I i = x i − ∆x∆x I i2 , x i + ∆x ], et vérifie c i+k (v n ) = c i (v n ).2Remarque 3.1 Pour obtenir des solutions nmériques raisonnables on suppose la conditionCFL (Courant-Friedrichs-Levy) satisfaite : ∆t∆x < 1sup |c n Notons néanmoins quei |.le schéma global n’est pas monotone car la vitesse c i (v n ) dépend de façon non monotonede la solution v n elle-même, (car certains c 0 i peuvent être négatifs).Remarque 3.2 Une façon de calculer la convolution (qui devient intéressante lorsque lenombre de points de discrétisation k = 1 est grand ) consiste simplement, en utilisantla FFT, à prendre la transformée de Fourier inverse du produit des transformées de∆xFourier.Dans [ les figures 2 à 5 l’axe des abscisses représente la position x i dans l’intervalle− 1 2 , 1 ]et l’axe des ordonnées, le temps t n . Sont ici représentées les trajectoires des dislocationsrepérées par le lieu du saut de E(vi n ), dans différentes situations. Si k = 2K +1,2où K ∈ N, on a pris,⎧−1 si i = 0⎪⎨c 0 1(x) = si |i| ≤ K et i ≠ 0(7)2K⎪⎩0 si |i| ≥ K + 1Remarque 3.3 Pour le choix de c 0 i donné par (7), le schéma global est monotone car seulle coefficient c 0 0 est strictement négatif.La figure 2 montre que quand il n’y a pas d’obstacles, c’est-à-dire (c ext ) ′ (x) = 0,les trajectoires des P = 6 dislocations sont des droites. Lorsqu’on rajoute des obstaclessuffisamment importants (cf. figure 3), les dislocations sont stoppées par les obstacles (icic ext (x) = 1 + 2 sin(4πx)). La figure 4 montre que si on augmente c ext d’une constantesuffisante en conservant les obstacles inchangés (en x ∼ −0.1 et x ∼ 0.4), on observeun mouvement des dislocations. On constate numériquement qu’ici ce mouvement sepériodise au cours du temps. On observe un effet d’empilement des dislocations justeTAMTAM –Tunis– 2005