Tamtam Proceedings - lamsin

Tiges élastiques avec autocontact 559Pour fermer le système, nous supposons que la tige est constituée d’un matériauxhyperélastique, c’est-à-dire, il existe une densité d’énergie élastique W(s, u, v) telle que∂W(s, u, v)n = R∂vet m = R∂W(s, u, v). (3)∂u3. Formulation variationnelleSoient δr et δω avec δω × = δRR T des variations admissibles. Elles seront interprétéescomme des vecteurs incrémentals de déplacement et de rotation. Pour ces variationsadmissibles, l’increment d’energie élastique estδW int =∫ Let le travail des forces exterieures est0δW ext ={n · (δr ′ + δr ×′ δω) + m · δω ′} ds, (4)∫ L0(f · δr + c · δθ) ds. (5)La formulation variationnelle, qui exprime le principe des travaux virtuels, s’écritδW int − δW ext =∫ L0{}n · (δr ′ + δr ×′ δω) + m · δω ′ − f · δr − c · δθ ds = 0.4. Formulation du problème de l’autocontactNous considèrons une tige élastique dont les sections transversales sont des disques dediamètre uniforme 2ε. La mesure classique du contact est définie par rapport aux surfaceslatérales. On caractérise le contact par la distance utilisée par Touzani et Béal [2] non paspar rapport aux points du bord mais par rapport aux points de l’axe central r de la tige :d(s, r) = 2ε − minσ∈I(s) | r(s) − r(σ)| = 2ε − |r(s) − r(σP )|, (6)où σ P = arg min |r(s) − r(σ)| et I(s) est une partie de [0, L] qui est sélectionnée enσ∈I(s)fonction du rayon de courbure globale R[r] comme a été définie dans [5], associée à uneportion r([0, L]) \ Γ s de la courbe dans laquelle le contact peut avoir lieu (voir figure 4).Cette caractérisation permet en outre de conserver l’aspet unidimentionnel du modèle etde rester dans le cadre général des milieux continus curvilignes.TAMTAM –Tunis– 2005