Tamtam Proceedings - lamsin

350 Sahmim et al.L’analyse de stabilité et de respect du principe du maximum pour ce schéma, montrequ’une condition suffisante consiste à choisir le paramètre de contrôle sous forme matricielle: α n = S n diag( 1i+ 1 2 i+ 1 |λ2 k |), en simplifiant on obtient le schéma SRNHS⎧⎨⎩W n = 1 i+ 1 22W n+1i = W n i − r( )Wni+1 + Win −12 sgn (A) ( Wi+1 n − W )in ,( ( ) ( ))F W n − F W n ,i+ 1 2i− 1 2( )avec sgn (A) = R sgn (Λ) R −1 et sgn (Λ) = diagλk|λ k |.2.2. Cas d’un système hyperbolique non linéaire et non homogèneOn considère le système hyperbolique non linéaire non homogène 1D suivant :⎧⎪⎨∂W∂t⎪⎩W (x, 0) = W 0 (x), x ∈ D+∂F (W )∂x= Q(x, W ), (x, t) ∈ D × R × +, D ⊂ R(3)(4)Pour ce cas le schéma SRNH s’écrit de la manière suivante :⎧⎪⎨⎪⎩= 1 (Wn2 i+1 + Win ) α n i+− 1 ( ( )2 F Wn2S n i+1 − F (Wni ) ) +( ( )i+ 1 2 ( ))i = Wi n − r F W n − F W n + ∆tQ n i+ 1 2i− 1 i2W n i+ 1 2W n+1On suppose qu’il existe un état intermédiaire ¯V ( W n i , W n i+1)tel queα n i+ 1 22S n i+ 1 2∆xQ n i+ 1 2(5)F ( Wi+1) n − F (Wni ) = A ( ( ¯V Wni , Wi+1)) n (Wni+1 − Win ). (6)De manière analogue au cas linéaire homogène, le schéma SRNHS pour le problème (4)s’écrit alors :⎧ (W n = 1 i+⎪⎨1 2 Wni+1 + Win 2+ 1 2 |Ā ( ( )) ¯V Wni , Wi+1n | −1 ∆xQ n i+ 1 2(⎪⎩W n+1Fi = W n i − r)−12 sgn ( Ā ( ( ( )¯V Wni , Wi+1))) n Wni+1 − Win(7)( ) ( ))W n − F W n + ∆tQ n i+ 1 2i− 1 i . 2TAMTAM –Tunis– 2005