Tamtam Proceedings - lamsin

Problème inverse géométrique 447On suppose que la surface de mesure Γ est divisée en deux parties connexes disjointes Γ 1et Γ 2 et que le flux de chaleur Φ imposé sur Γ est une fonction qui vérifie :⎧⎪⎨(a)⎪⎩Φ > 0 sur Γ 1 = (a, x 0 )Φ = 0 en x 0 ; x 0 ∈ ΓΦ < 0 sur Γ 2 = (x 0 , b)où a et b les extrémités de la surface de mesure Γ.En se référant à [1, 4], on a :Proposition :ψ est une application conforme transformant le domaine Ω en Ω 0 , la surface de mesureΓ en Γ 0 = {u = f(s), v = ∫ Φ(s) ds}, et la frontière inaccessible γ en une lignehorizontale γ 0 = {v = 0}.Il est clair que le domaine Ω 0 est bien déterminé. Grâce à sa régularité et en se référantà [6], il existe une application conforme Υ qui le transforme en disque unité. Commela composée de deux transformations conformes est une transformation conforme, ondéduit donc que Υ ◦ ψ est une application conforme qui transforme Ω en ID, Γ en K etγ en J, où ∂ID = K ∪ J. Identifier la partie inconnue de la frontière, revient à identifier((Υ ◦ ψ) −1 (J)). Vu que J = Υ(γ 0 ) et γ 0 = ψ(γ), alors que les mesures sont effectuéesseulement sur la surface de mesure Γ, il est clair que ψ et donc (Υ ◦ ψ) ne sont connuesque sur Γ et par conséquent (ψ) −1 | γ0et (Υ ◦ ψ) −1 | Jsont des inconnues du problème.Afin de déterminer γ, on va procéder au moyen des méthodes constructives d’analysecomplexe et d’approximation et donc la résolution des problèmes extrémaux bornés dansH ∞ définis sur le disque unité.Par un soucis de simplification, on pose Ψ = (Υ ◦ ψ) −1 qui n’est connue que sur K donton cherche l’ extension dans H ∞ . On est donc ramené à la recherche de cette applicationconforme et donc à la résolution d’un problème extrémal borné (qu’on définit dans lasuite) dans les espaces de Hardy H ∞ du disque unité.L’espace de Hardy H ∞ = H ∞ (ID) est défini par l’espace des fonctions analytiques dansID et bornées en norme L ∞ sur les cercles centrées en 0 et de rayon r < 1, telle que :H ∞ = {g(z) = ∑ 0≤na n z n , supr < 1supθ∈[0,2π]|g(r e iθ | < ∞},avec :‖g‖ H ∞ = sup r < 1 sup θ∈[0,2π] |g(r e iθ | = sup θ∈[0,2π] |g |IT (e iθ )| = ‖g |IT ‖ L∞ (IT ).Muni de la norme L ∞ (IT ), l’espace H ∞ est un espace de Banach que l’on peut identifierau sous espace fermé de L ∞ (IT ) des fonctions dont les coefficients de fourrier d’indicesnégatifs sont nuls.TAMTAM –Tunis– 2005