Tamtam Proceedings - lamsin

Identification de fissures planes 429avec u = u i + u s où u i est le champ incident : e.g. u i (x) = e ik d·x avec |d| = 1et u s vérifie la condition de radiation de Sommerfeld√lim r(∂r u s − iku s ) = 0 uniformément dans toutes les directions ˆx = x/|x|.r=|x|→∞On utilisera alors pour retrouver la fissure et les impédances les valeurs du champ u etde sa dérivée normale ∂ ν u sur le carré formé par les points suivants : (2, 2), (2, −2),(−2, −2), (−2, 2). On recherche la fissure sur l’axe (Ox) entre −2 et 2.Dans toutes les figures les valeurs exactes seront en bleues et les valeurs reconstruites enrouge.Pour tester la méthode de recherche de la forme de la fissure et des fonctions d’impédanceon donne un exemple numérique.On prend λ + (x) = 1+i et λ − (x) = (1−x 2 ) 2 +i. L’onde utilisée pour retrouver la fissureet les fonctions d’impédances est une onde plane de vecteur d’onde −→ k = 10.(0, 0, 1)4.1. Recherche de la forme de la fissureComparons les courbes obtenues pour les sauts réels et les sauts reconstruits.1.520[u]1[∂ Nu]15100.550−2 −1 0 1 2x0−2 −1 0 1 2xFigure 1. module du saut de pressionFigure 2. module du saut de la dérivéenormale de la pressionOn voit alors que les sauts sont correctement approchés. On remarque cependant sur lafigure 2 une nette différence entre les sauts exacts et reconstruits pour la dérivée normaledu champ acoustique losrqu’on se trouve près des extrémités de la fissure. Cela est dû aufait que l’inversion de Fourier fournit un saut continu alors que le saut exact présente unediscontinuité en −1 et 1. Mais cela n’aura d’incidence que sur le calcul des impédancespuisque ce qui nous intéresse dans ces courbes pour la reconstruction de σ, ce sont leursupport.TAMTAM –Tunis– 2005