Tamtam Proceedings - lamsin

Méthode d’agrégation des variables 15oùR = r 2 ν ∗ 2 − mν ∗ 1 , K = K 2Rr 2 (ν ∗ 2 )2 , A = aν∗ 2 η ∗ 2 (16)µ = µ 2 η ∗ 2 + µ 3 η ∗ 3, B = bν ∗ 2 η ∗ 2. (17)Le modèle agrégé (15) est un modèle classique ([8], [9]) et admet les points d’équilibresuivants :E 0 = (0, 0), E 1 = (K, 0) (18)et l’équilibre positif E ∗ = (n ∗ , p ∗ ) oùL’équilibre positif E ∗ existe ssin ∗ = µ B , (19)p ∗ = R n∗(1 −a K ) (20)R > 0, BK − µ > 0. (21)L’analyse de stabilité montre que : E 0 est toujours instable. Si E ∗ existe, alors E 1 estinstable. Mais si E 1 est stable alors E ∗ n’existe pas.De plus, si E ∗ existe, alors il est globalement asymptotiquement stable.3.2. Taux de migration densité-dépendantsNous allons maintenant supposer que le taux de migration de la proie (resp. du prédateur)vers son refuge dépend de la densité de prédateurs (resp. des proies) sur le site 2.Lorsqu’il y a beaucoup de prédateurs sur le site 2, les proies retournent plus rapidementdans leur refuge. Le prédateur exerce un effet répulsif sur la proie. Lorsque la proie estassez abondante sur le site 2, le prédateur chasse plus vite et donc repart très vite versson refuge pour apporter de la nourriture à sa progéniture. Nous supposons aussi que leprédateur revient régulièrement sur le site 2 à la recherche de la proie sur ce site.k 12 = βp 2 , k 21 = α, k 23 = γ, k 32 = δn 2 . (22)Le système (9) s’écrit :⎧⎪⎨⎪⎩dn 2dτdn 1dτ = (βp 2n 2 − αn 1 ) + ( ε [−mn 1 ] ]= (αn 1 − βp 2 n 2 ) + ε[r 2 n 2 1 − n2− an 2 p 2dp 2K 2)dτ = (γp 3 − δn 2 p 2 ) + ε [φbn 2 p 2 − µ 2 p 2 ]dp 3dτ = (δn 2p 2 − γp 3 ) + ε [(1 − φ)bn 2 p 2 − µ 3 p 3 ](23)TAMTAM –Tunis– 2005