Tamtam Proceedings - lamsin

336 Jelassi1. IntroductionLa simulation numérique du problème des courants de Foucault posé dans des domainesnon-bornés, constitue un sujet d’intérêt actuel dans la communauté des numériciens.Les méthodes les plus populaires, utilisées dans ce genre de discrétisation, permettentde réduire les calculs à des domaines bornés en imposant une condition transparentesur le bord fictif enserrant le domaine de calcul. Classées, en général selon lanature de la condition aux limites, certaines techniques sont basées sur une représentationintégrale et engendrent des matrices non creuses. D’autres font appel à des conditions artificiellesasymptotiques (donc inexactes), produisant ainsi des matrices creuses mais assezlarges. Nous proposons, dans cette contribution, d’examiner un solveur de Schwarz pourla méthode de couplage éléments finis/représentation intégrale, connu dans la litérature,sous la dénomination du couplage FEM/BEM. Cette technique, qui utilise une conditionartificielle exacte en adoptant les formules intégrales , nous permet de découpler le traitementdes problèmes intérieur et extérieur générant, ainsi, des matrices creuses.Dans ce qui suit, nous rappelons le modèle réduit des courants de Foucault. Nous discutonspar ailleurs, les performances d’une variante de la technique de Schwarz, appliquéeau problème équivalent en domaine borné suivi d’une investigation numérique.2. Dérivation du modèle des courants de FoucaultSoit Ω = Ω Γ ×IR un domaine cylindrique décrivant un ensemble de plusieurs conducteurs,la section transversale Ω Γ est un domaine borné dans IR 2 avec une frontière régulièreΓ, divisée en p ∗ composantes connexes notées (Γ p ) 1≤p≤p ∗ correspondants auconducteurs (Ω Γp ) 1≤p≤p ∗ (voir Fig 1, Ω Γ est hachuré). Les équations que régissent lephénomène des courants de Foucault en régime harmonique sont :rot H − σE = 0 dans Ω, rot H = 0 dans Ω ′ , iωµH + rot E = 0 dans Ω,div (µH ) = 0 dans IR 3 . (1)Le domaine Ω ′ = IR 3 \ Ω est l’espace libre et sa section transverse est notée Ω Γ , (Ω Γ ∪Ω ′ Γ = IR2 ). Les champs de vecteurs H et E sont repectivement le champ magnétiqueet le champ électrique, ω désigne la pulsation et σ et µ constituent respectivement laconductivité électrique et la perméabilité magnétique. Nous supposons, de plus, que σ estconstante par morceaux à l’intérieur de Ω et que µ est constante dans l’espace libre Ω ′ ,ayant une symétrie transversale (donc indépendante de la variable longitudinale x 3 ). Enoutre, elle est supposée bornée à l’intérieur de Ω avec µ ≥ µ ∗ pour µ ∗ donnée dans IR ∗ +.Grâce aux symétries du système, nous optons pour une solution magnétique transversece qui justifie que toutes les inconnues soient indépendantes de la variable x 3 et queH = (H 1 , H 2 , 0 ) et E = (0 , 0 , E). L’équation (1) établit que H dérive d’un potentielTAMTAM –Tunis– 2005