Tamtam Proceedings - lamsin

Résolution d’un systéme d’elasticité non linéaire 5712.3.2. Choix de La normeOn poseρ(x, t) = H( exp (− 1 4t |x|2 )) = U(x, 0, t + χ). (14)Cette fonction est positive et continue dans R n x [0, +∞[ .On introduit alors la norme :‖ϕ‖ =2.3.3. Propriétés de la norme ( 15)On a :⎧⎨⎩supR n x[0,+∞[|ϕ(x, t)|ρ(x, t)Il existe une constante C 1 telle que :‖K(v)‖ ≤ C 1 ‖v‖ 1+α pour toute v continue et positive‖v‖ finie(15): (16)On a d’après (15) :d’où d’après la définition de K :Comme on acette dernière formule donne :v(x, t) ≤ ‖v‖ 1+α ρ(x, t) 1+αK(v) ≤ ‖v‖ 1+α K(ρ 1+α ) (17)ρ(x, s) 1+α 1≤ c 2 ρ(x, s),(s + χ)nα/2K(ρ 1+α ) ≤ c 2∫ ∞car on a la condition (5) vérifiée, d’où (17) donne :0K(v) (x, t)ρ(x, t)d’où on a (16) avec c 1 = c 3 .Comme ‖ρ‖ = 1, il résulte de (16) que :Montrons maintenant cecids(s + χ) nα/2 ρ(x, t) = c 3ρ≤ c 3 ‖v‖ 1+α‖K(ρ)‖ ≤ c 1 (18)TAMTAM –Tunis– 2005Soit M > 0 donné :, quelles que soient u, v continues, positivesavec ‖u‖ ≤ M; ‖v‖ ≤ Mon a ‖K(u) − K(v)‖ ≤ c 1 (1 + α) M α ‖u − v‖⎫⎬⎭(19)