Tamtam Proceedings - lamsin

150 Lefebvre1. IntroductionSoit (X 1 (t), X 2 (t)) le processus de diffusion commandé bidimensionnel défini par leséquations différentielles stochastiquesdX i (t) = a(X i (t)) dt + {|u i (t)| v(X i (t))} 1/2 dW i (t) (1)pour i = 1, 2, où W 1 (t) et W 2 (t) sont des mouvements browniens standards indépendants.Il est à noter que c’est la variance infinitésimale de (X 1 (t), X 2 (t)) qui dépend de lacommande, plutôt que sa moyenne infinitésimale, comme dans la formulation classique.Cette situation peut être plus réaliste dans plusieurs applications (voir [2]).On désire trouver les variables de commande u i (t) qui optimisent l’espérance mathématiquede la fonction de coûtJ(x 1 , x 2 ) =∫ T0[λ + u 2 1(t) − u 2 2(t)] dt + K(X 1 (T ), X 2 (T )) (2)où λ est une constante et{ 0 si X1 (T ) − XK(X 1 (T ), X 2 (T )) =2 (T ) = 0k si X 1 (T ) − X 2 (T ) = doù k est une constante positive.Le temps final T = T (x 1 , x 2 ) est une variable aléatoire :T (x 1 , x 2 ) = inf{t > 0: X 1 (t) − X 2 (t) = 0 ou d | X i (0) = x i } (4)où l’on suppose que 0 < x 1 − x 2 < d. C’est-à-dire que le jeu prend fin lorsque l’unou l’autre de deux événements se produit pour la première fois : les deux processus sontégaux, ou bien leur différence est égale à la constante k.Il y a deux optimiseurs ; le premier (à l’aide de la variable u 1 (t)) veut minimiserl’espérance mathématique de J, tandis que le deuxième (à l’aide de u 2 (t)) essaie de lamaximiser. Les valeurs optimales de u 1 et u 2 seront calculées explicitement dans troiscas importants en utilisant un cas particulier de la méthode des similitudes pour résoudrel’équation aux dérivées partielles appropriée.(3)2. Commandes optimalesSoitF (x 1 , x 2 ) =minu 1 (t)0 ≤ t ≤ Tmaxu 2 (t)0 ≤ t ≤ TE[J(x 1 , x 2 )] (5)TAMTAM –Tunis– 2005