Tamtam Proceedings - lamsin

Fleuves singuliers 115un algorithme de leur détermination. Dans ce qui suit nous allons nous intéresser à cecas pour des équations différentielles de la forme Y ′= F (X, Y ) où F est une fonctionpolynômiale en X et Y.2. Résultats préliminairesDans cette section nous allons brièvement rappeler certains résultats qui sont donnésdans [2], [4] et [5] qui nous seront nécessaires pour la suite.Dans tout ce qui suit nous allons considérer l’équation différentielledY/dX = F (X, Y ) (3)où F est une fonction rationnelle de la forme F (X, Y ) = P (X, Y )/Q(X, Y ) et P , Q despolynômes de degré d > 1. On suppose que P et Q sont premiers entre eux.Définition 1. (fleuve régulier) : Soit Φ(X) une solution standard de (3) définie pourx > A, AɛR. La fonction Φ(X) est appelée fleuve de type (k,r) de (3) en X=+∞ si etseulement si il existe des réels (standard) r et k, k ≠ 0, tel que :i) (3) se transforme sous le r-macroscope en une équation lente-rapide de la forme(1), où f est une fonction presque standard non équivalente à 0.ii) Pour tout x appréciable positif, ◦ f(x, kx r ) = 0 et ◦ f ′y (x, kx r ) ≠0 .iii) Pour tout x appréciable positif ε r Φ(x/ε)/x r ≃ k.Si ◦ f ′2 (x, Φ(x)) > 0 cette trajectoire est dite répulsive, si par contre ◦ f ′2 (x, Φ(x)) 0,iii) F r (1, k) = 0,iv) (Q r ) ′ y.P r (1, k) ≠0.En effet, si l’on se reporte à l’équation (3), ce théorème permet, en traçant le polygônede Newton, de trouver le r-macroscope qui permet d’obtenir une équation lente-rapide etd’étudier les solutions non singulières (condition iv) de l’équation F r (1, k) = 0.TAMTAM –Tunis– 2005