Tamtam Proceedings - lamsin

Identification de fissures 4511. IntroductionDans ce travail, nous nous intérressons aux problèmes inverses géométrique d’identificationde fissures qui consistent à localiser une famille de fissures via des mesures sur lebord .Ces problèmes interviennent d’une manière naturelle dans nombreuses applications(imagerie , tomographie .....). Les méthodes de résolution de ces problèmes sont très diverses[2][1].Le cadre mathématique dans ce travail est l’équation de le laplacien ,il s’agit de localiserune famille de fissures à partir des quantités mesurés à savoir la température et le flux dechaleur. Etant donné que les conditions au bord sont surdéterminées, on utilise l’approcheprésentée par Kohn- Vogelius [3] , à savoir localiser les fissures revient à minimiser lafonction coût qui mesure l’écart entre la solution de Dirichlet et la solution de Neumann. La résolution de ce problème de minimisation se réalise en s’appuyant sur les travauxillustrés dans [4] et basés sur l’algorithme de Gauss-Newton .2. Présentation du problèmeSoit Ω un domaine contenant la fissure σ. Sur la frontière Γ de Ω, On impose un fluxde chaleur ϕ et on mesure la température T . Le problème considéré est le suivant : étantdonné Ω, ϕ et T , trouver σ ⊂ Ω telque la solution u(σ) de⎧⎨⎩∆u(σ) = 0 dans Ω \ σ,∂ n u(σ) = ϕ surΓ,∂ n u(σ) = 0 sur σ.(1)verifie u(σ) |Γ = T .Le problème inverse à étudier sera donc l’identification (géométrique) d’une fissure σincluse dans Ω, depuis la donnée du flux ϕ et la connaissance de la trace de u solution duproblème (1).Autrement dit le problème s’écrit : étant donné Ω,ϕ et f, trouver σ incluse dans Ω telleque la solution du problème (1) vérifie la condition de Dirichlet :u |Γ0 = f.Les donnéesétant surabondantes sur le bord, on définit alors les deux problèmes suivant :– Le problème de “Dirichlet” :⎧⎨⎩∆u D (σ) = 0 dans Ω \ σ,u D (σ) = T sur Γ,∂ n u D (σ) = 0 sur σ,(2)TAMTAM –Tunis– 2005