Tamtam Proceedings - lamsin

Identification de fissures planes 4273. Problème inverse et fonctionnelle Écart à la RéciprocitéLe problème inverse que nous considérons consiste à identifier la ou les fissures σ etles impédances λ ± à partir des données f = u et g = ∂ ν u sur la frontière ∂Ω du domaine(données surabondantes pour le problème direct). Pour cela on utilisera la fonctionnelleÉcart à la Réciprocité RG introduite par Andrieux et Ben Abda pour le cas du Laplaciendans [1] et étendue au cas de l’équation de Helmholtz par Ben Abda, Delbary et Haddardans [6], définie sur H(Ω) = {v ∈ H 1 (Ω) / ∆v + k 2 v = 0 dans Ω}, parRG : H(Ω) → C∫v ↦→∂Ω∫f ∂ ν v ds − v g ds∂ΩPour tout v ∈ H(Ω), en appliquant la formule de Green dans Ω, on obtient la relationsuivante∫∫RG(v) = [u] Π∂ N v ds − [∂ N u] Πv dsσoù [u] Πest le saut du champ acoustique à travers la fissure σ et [∂ N u] Πle saut de la dérivéenormale.On supposera par la suite que le plan Π portant la fissure σ est à priori connu. Le problèmeque l’on s’est fixé précédemment se résume donc à retrouver la forme de la fissure σ etles impédances λ ± connaissant f et g.3.1. Détermination de la forme de la fissureOn sélectionne une famille de champs v de type Caldèron : v(x; θ) = e iθ·x avec θ ∈C n , tels que θ · θ = k 2 . Alors pour tout θ tel que |θ| = k, v(·; θ) ∈ H(Ω) et∫∫RG(v(·; θ)) = [u] Π(x) ∂ N v(x; θ) ds(x) − [∂ N u] Π(x) v(x; θ) ds(x)c’est-à-dire∫RG(v(·; θ)) = i(θ · N)σσσσ∫[u] Π(x) exp(iθ · x) ds(x) − [∂ N u] Π(x) exp(iθ · x) ds(x)σOn peut alors facilement obtenir les transformées de Fourier des sauts [u] Πet [∂ N u] Π. Partransformation de Fourier inverse on obtient donc les sauts. Il reste à identifier la formede la fissure, c’est le but du lemme suivant :Lemme 3.1 Supposons f non identiquement nulle et Support (λ + + λ − ) = ¯σ, alorsSupport [u] Π∪ Support [∂ N u] Π= ¯σTAMTAM –Tunis– 2005