Tamtam Proceedings - lamsin

Modélisation numérique de surface libre 255ventΓ s(t)ΛventΓinΓfΩ(t)ΓoutFigure 1. Coupe 2D du domaine d’étude au temps toù ϕ 0 est telle que ϕ 0 (x) = 1, si x ∈ Ω(0) et ϕ 0 (x) = 0, sinon. En introduisant lescourbes caractéristiques X(x, s; t) (Dabaghi et Saiac [5],Pironneau [9],..), la fonction ϕsera donnée par : ϕ(X(x, s; t), t) = ϕ(x, s), ∀x ∈ ΛConnaissant le domaine Ω(s), le domaine Ω(t) peut être défini pour t ≥ s parΩ(t) = {x ∈ Λ; ϕ(X(x, s; t), t) = 1}.2. Méthode d’approximationt n-1ΛtnΛJjΩn-1Γn-1τ n u n-1xJΓΩnnδhiIδhIFigure 2. Déplacement virtuel des cellules et projection des valeurs qu’elles contiennent.On note par ∆t le pas de temps et t n = n∆t. Connaissant u n−1 et ϕ n−1 , la discrétisationen temps de (2) conduit à : ϕ n = ϕ n−1 ◦ X n−1où X n−1 = X(x, t n ; t n−1 ) est la position du point matériel à l’instant t n−1 qui se trouveen x à l’instant t n ; les courbes caractéristiques X n−1 (x, t n ; t) discrétisées sont définiespar :⎧⎪⎨ dX n−1(x, t n ; t) = u n−1 (X n−1 (x, t n ; t)), t ∈ [t n−1 , t n ]dt⎪⎩X n−1 (x, t n ; t n ) = x.TAMTAM –Tunis– 2005