Tamtam Proceedings - lamsin

452 Horchani– le problème “Neumann” :⎧⎨ ∆u N (σ) = 0 in Ω \ σ,∂ n u N (σ) = ϕ on Γ,⎩∂ n u N (σ) = 0 on σ.La fissure σ est localisée ,en minimisant l’écart entre la solution de Neumann et la solutionde Dirichlet, et donc minimiser la fonction coût suivanteC’est la fonction coût de Kohn- Vogelius [3].j(c) = 1 2 ‖uD − u N ‖ 2 L2(Ω) (4)(3)3. Résolution du problème de minimisationLe but étant de minimiser j(c), on pose F i (c) = u N i − u D ii étant le nombre de ponts de mesure effectuées sur le bord du domaine Ω.La fonction coût s’écrit alors :j(c) = 1 2 ‖F i(c)‖ 2 L 2 (5)Soit DF i la jacobienne de F i .En appliquant La méthode de Newton au problème (5) on obtient :d étant la direction de descente. oret∇ 2 J(c k )d = −∇J(c k )∇J(c) = DF t (c)F (c)∇ 2 J(c) = DF t (c)DF (c) + D 2 F (c)F (c)On néglige Le second terme de ∇ 2 J(c) .On approche ∇ 2 J(c) par son premier terme.Onaboutit ainsi à la méthode de Gauss-Newton.La méthode consiste en l’algorithme itératif suivant :{ DF t (c k )DF (c k )d k = −DF t (c k )Fc k+1 = c k + d k(6)Le calcul du produit matrice-vecteur DF (c k ) t DF (c k )d est effectué en deux étapes . Lapremière étape consiste à calculer DF (c k )d , on peut écrire ce produit de la manièresuivante :F (c k + εd) − F (c k )DF (c k )d = lim= ∂ ε F (c k + εd) |ε=0ε→0 εTAMTAM –Tunis– 2005