Tamtam Proceedings - lamsin

Détermination du nombre de régions d’une image 3313. Estimation du nombre de classes d’un HistogrammeSoit Ω un ensemble non vide et Cl={Cl 1 ,...,Cl k } une partition de Ω en k classes, etsoit X une variable aléatoire continue de densité inconnue f asociée à une mesure σ−finieµ. La densité discrétisée de X relativement à la partition Cl est définie par :∀x ∈ Cl; ˆf(x|Cl) = ˆf(x|k) =k∑s=1θ(Cl s )µ(Cl s ) 1 Cl s(c)où θ(Cl s ) est la probabilité, supposée inconnue, de la classe Cl s , et où 1 Cls (.) désignela fonction indicatrice de Cl s . Nous avons ainsi une densité paramétrée par les probabilitésinconnues θ(Cl 1 ), ....., θ(Cl k ). Dans cette modélisation, nous avons la relation∑ ks=1 θ(Cl s) = 1 le nombre de paramètres libres est donc k − 1. Pour l’estimation de ladensité f par la méthode de l’histogramme, le choix du nombre k de classes à partir de nobservations X 1 , ....., X n de la variable X est important. Si k > n la taille n n’autorisepas le découpage puisque certaines classes ne seraient chargées par aucune observation,par contre si on ne considère qu’une seule classe k = 1 on perd toute l’information quepourraient apporter les observations. Le nombre k doit donc être choisi de façon optimaletout en dépendant de la mesure a priori µ. Nous appliquons pour cela les critères d’informationà l’histogramme.Pour les observations X 1 , ....., X n , l’estimateur du maximum de vraisemblance du vecteurparamètre θ(Cl) = (θ(Cl 1 ), ....., θ(Cl k )) correspond à un vecteur dont les composantesreprésentent les fréquences statistiques des classes Cl 1 , ..., Cl k . Comme le nombrede paramètres libres est k − 1, le critère s’écrit :et nous avons :n∑log ˆf(X i |k) =i=1IC(k) = −2n∑k∑i=1 s=1n∑logf(X s |k) + C n (k − 1)s=1log ν(Cl s)µ(Cl s ) 1 Cl s(X i ) =k∑s=1nν(Cl s )log ν(Cl s)µ(Cl s )où ν(Cl s ) est la fréquence de la classe Cl s et nν(Cl s ) sa taille. Le nombre optimal declasses de l’histogramme est donc obtenu en minimisant le critère noté ICH :ICH(k) = −2k∑s=1nν(Cl s )log ν(Cl s)µ(Cl s ) + C n(k − 1)ce qui nous permet d’avoir une estimation du nombre de classes de l’histogramme.TAMTAM –Tunis– 2005