Tamtam Proceedings - lamsin

Algorithme de Kohn et Vogelius 435les B-splines cubiques [4] permet d’obtenir à partir des données non régulières f ε , desdonnées lisseses qu’on notera aussi f ε ∈ L ∞ (Γ N ).On a le résultat de robustesse suivant :Théorèmelim ‖f ε − f‖ L∞ (Γε→∞ N ) = 0 =⇒limε→∞ ‖qε − ¯q‖ L∞ (γ) = 03. Résultats numériquesPour la mise en œuvre de l’algorithme, on a utilisé au début une approche hiérarchique.Les résultats numériques obtenus sont satisfaisants dans les cas où les donnéestraitées ne sont pas oscillantes.Physiquement, le coefficient de Robin peut être oscillant du fait de la corrosion. Afind’améliorer la capture des oscillations, on a proposé et on a mis en œuvre un algorithmede relaxation tout en développant l’impédance q en série de Fourier. Cette méthode a produitdes meilleurs résultats même si le traitement des données très oscillantes reste encoreinsatisfaisant.Une procédure “d’anti-dumping”, qui consiste à amplifier la j iême composante par unfacteur bien choisi permet d’ameliorer la capture des oscillations. Mais, la procédure nécessitetoujours une étude complète pour déterminer le facteur approprié.L’excès de régularisation que la méthode du Kohn-Vogelius apporte nous a donné l’idéed’utiliser cette fonction coût comme terme de régularisation. Cette méthode améliore lesrésultats obtenus par les autres techniques comme le montre la figure 4.4. Une nouvelle approcheToutes les méthodes numériques qu’on a mis en œuvre reste non satisfaisante pouridentifier les données fortement oscillantes. Pour cette raison on propose de modifier l’algorithmeprécédent et de procéder de la manière suivante :• Etape 1 : Trouver q 1 la valeur moyenne du coefficient de Robin en utilisant l’algorithmeprécédent.• Etape 2 : Trouver q 2 en minimisant la fonctionnelle suivante :J 1 (q 2 ) = 1 2 ‖uN (q) − f‖ 2 L 2 (Γ N ) + ε 2 ‖q 2‖ 2 Gavec G est un espace adapté aux éléments oscillants introduit par Y. Meyer pour identifierles textures en traitements d’images, il est défini par :G = {q ∈ L 2 (γ) ; q(s) = h ′ (s), h ∈ H 1 0 (γ)},‖q‖ G = infh ′ =q ‖h‖ 0,∞,γ.TAMTAM –Tunis– 2005