Tamtam Proceedings - lamsin

Systèmes de réaction-diffusion 167Alors nous pouvons choisir γ et M tel que les conditions du (1.2)-(1.3) soient satisfies etutilisons les conséquences du théorème (1.3) et du corollaire (1.1), nous déduisons que :par conséquentet de (2.11), nous obtenons :e βv = e (pα)v = (e αv ) p ɛ L ∞ ( [0, T ∗ [ , L 1 (Ω) )e βv ɛ L ∞ ([0, T ∗ [ , L p (Ω))f(u, v) ɛ L ∞ ([0, T ∗ [ , L p (Ω)) pour p > n 2Par les remarques préliminaires, nous pouvons conclure que la solution de (1.2)-(1.3)est globale en temps et uniformement bornée sur R + × Ω, et ainsi la démonstration ducorollaire se trouve achevée.3. Comportement asymptotiqueIl existe plusieurs théories de stabilité pour les solutions des systèmes de réactiondiffusion,elles traitent toutes de la question du comportement des solutions lorsque letemps tend vers l’infini.Notre travail est consacré à l’étude du comportement asymptotique lorsque t ↦→ +∞des solutions du systèmes (1.2)-(1.3).Grace au résultat de bornage des trajectoires dans C( _ Ω)×C( _ Ω), le comportement asymptotiquedes solutions peut être analysé par une application élimentaire du principe d’invariancede la Salle et en se basant sur un résultat de précompacité des trajectoires affirmanten résumé que si u et v sont des solutions globales de (1.2)-(1.3) et f ɛ L ∞ ([0, +∞[ , C( _ Ω))alors u et v ɛ L ∞ ([0, +∞[ , C 1 ( _ Ω)) ( corollaire 2.1), le théorème suivant répond à cetteétude.Théorème 3.1. Soit (u, v) une solution globale de (1.2)-(1.3), alors il existe deuxconstantes positives c 1 et c 2 telles que :‖ u − c 1 ‖ ∞↦−→ 0t↦−→+∞de plus :‖ v − c 2 ‖ ∞↦−→ 0t↦−→+∞f(c 1 , c 2 ) = 0TAMTAM –Tunis– 2005