Tamtam Proceedings - lamsin

446 Chaabane et al.2. StabilitéOn étudie dans cette partie la stabilité du problème inverse d’identification de la partieinconnue de la frontière. Pour celà, on suppose que γ 1 et γ 2 deux formes possibles de lapartie inconnue du bord à identifier, ayant les mêmes extrémités, telle que γ 2 ⊂ V (γ 1 )où V est un voisinage de γ 1 . On suppose que u 1 solution du problème (PD) posé dans Ω 1correspondant à la frontière inconnue γ 1 et u 2 solution du problème (PD) posé dans Ω 2correspondant à la frontière inconnue γ 2 . On rappelle que ∂Ω 1 = Γ∪γ 1 et ∂Ω 2 = Γ∪γ 2 .On suppose ici que Ω 2 est intérieur au domaine Ω 1 , c’est à dire que γ 2 est une partieintérieure à Ω 1 .On énonce le résultat de stabilité suivant :Théorème :Soient Ω 1 , Ω 2 ∈ Ω ad , on désigne par u i la solution du problème (PD) correspondant àγ i ; i = 1, 2. Alors ils existent des constantes ρ ∈ (0, 1), C > 0, τ > 0 et une fonctiondécroissante ε : ]0, 1[ −→ IR + qui tend vers 0 en 0, définie par : ε(x) ≤2+log (ρ | log x|)ρ | log x|pour x ≤ e −1/ρ , telles que :µ(Ω 1 \ Ω 2 ) ≤ Cε(‖u 1 − u 2 ‖ L 2 (Γ)).Ce résultat reste valable si les deux formes possibles de la frontière en question γ 1 et γ 2ayant les mêmes extrémités, s’intersectent en un nombre fini de points.Pour la preuve de ce théorème, on a recours au lemme suivant :Lemme :On désigne par u 1 la solution du problème (PD) posé dans Ω 1 et par v 1 sa fonctionconjuguée harmonique. Il existe une constante C > 0 telle que :∂v 1∂y (x, y) ≥ C pour tout (x, y) ∈ γ 2.3. Identification3.1. Description de la méthodeL’équation ∆u = 0, nous donne l’existence d’une fonction holomorphe ψ telle queu est sa partie réelle : u = Re(ψ).On désigne par v le conjugué harmonique de u (à une constante additive près), on a donc: ψ = u + i v. En utilisant les équations de Cauchy-Riemann, on a : v(s) = ∫ sΦ(t) dtasur Γ, où a est une extrémité de Γ.La fonction ψ est parfaitement connue sur Γ et coïncide avec la fonction :F(s) = f(s) + i ∫ sa Φ(t)dt.TAMTAM –Tunis– 2005