Tamtam Proceedings - lamsin

Modèle de croissance avec retard 519oùLemme 3.3Soit l’équation différentielleoù τ > 0. On suppose que :⎧⎪ ⎨⎪ ⎩α(t) = α 1 v 1 (t) + α 2 v 2 (t)γ(t) = γ 1 u 1 (t) + γ 2 u 2 (t)σ(t) = α 1 e −γ1τ v 1 (t) + α 2 e −γ2τ v 2 (t)β(t) = β 1 (v 1 (t)) 2 + β 2 (v 2 (t)) 2 .ẋ(t) = f(x(t − τ), t) − g(x(t), t),– A1) f est strictement croissante suivant la première variable, f(0, t) = 0, il existex ∗ > 0 qui vérifie : f(x, t) > g(x, t) pour x ∈]0, x ∗ [ et f(x, t) < g(x, t) pour x > x ∗ , etpout tout t > 0limx→∞– A2) g est strictement croissante suivant la première variable, g(0, t) = 0 etg(x, t) = ∞, pour tout t > 0– A3) lim f(x, t) < lim g(x, t) pour x > x ∗ ,t→∞ t→∞Alors lim x(t) = x ∗ .t→∞Théorème 3.4Soit x m (θ) ≥ 0 pour θ ∈ [−τ, 0], j = 1, 2, x m (0) > 0, et pour ɛ assez petit. Alors on alim [x i(t), x m (t)] = (x ∗ i , x ∗ m).t→∞Preuve. limt→∞x m (t) = x ∗ m est une conséquence directe du lemme 1. Poure la deuxièmepartie, il suffit de remarquer que⎧⎨⎩α(t) = α ∗ + a 1 e −R1tγ(t) = γ ∗ + a 2 e −R2tσ(t) = α ∗ + a 3 e −R3t ,où a i et R i (i = 1, 2, 3) sont des constantes positives. En majorant |x i (t) − x ∗ i | et enpassant à la limite quand t tend vers l’infini, on obtient le résultat désiré.4. ConclusionNous venons de proposer un système à deux équations et à deux variables, qui a lemême comportement asymptotique que le système initial qui est à quatres équations.L’intérêt de cette approche devient plus grand quand le nombre de variables est encoreplus élevé ; une population divisée en n classes d’âge dans un environnement où il y a psites, ce qui constitue une généralisation des résultats présentés dans cette note.TAMTAM –Tunis– 2005