Tamtam Proceedings - lamsin

Procédure spectrale avec diagonalisation 221de Collocation [1, 3, 4], qui sont les extrêmums des polynômes de Chebyshev. Il s’agitici de la chaîne dite de Gauss-Lobatto. Le paramètre naturel de la discrétisation est ledegré M de ces polynômes. On introduit alors une matrice D dite de dérivation [2, 6], etle système précédent devient :Pour p = 0, . . . . . . . . . , N⎧⎪⎨(P 2) =⎪⎩D 2 ⃗ f p − p24α 2 ⃗ f p = ⃗ F pD 2 ⃗g p − p24α 2 ⃗g p = ⃗ G pD 2 ⃗ h p − p24α 2 ⃗ h p = ⃗ H poù f ⃗ p , ⃗g p et h ⃗ p désignent les vecteurs formés par les valeurs des fonctions f p , g p eth p respectivement aux points de Collocation Chebyshev définis par x k = cos( k πM ) pourk = 0, . . . . . . , M.4. Méthode de résolutionLe système algébrique (P 2) est résolu par la suite en utilisant la méthode de diagonalisationproposée dans [7]. Les nouvelles matrices sont diagonalisables, à valeurs propressimples, toutes négatives. Les équations du système matriciel (P 2) rendu instationnaires’écrivent dans l’espace propre sous la forme :(1 + ∆t[f i ] n+1 = 2 λ i − ∆t2 4α 2 )[f i] n − ∆t[F i ] n(1 − ∆t2 λ i + ∆t p 22 4α 2 )Où [f i ] représente le vecteur ⃗ f p (respectivement ⃗g p , ⃗ hp ) dans la base des vecteurspropres, [F i ] représente le vecteur ⃗ F p (respectivement ⃗ Gp , ⃗ Hp ) dans la même base etλ i représente la ième valeur propre de la nouvelle matrice de dérivation seconde D 2 CLobtenue en tenant compte des conditions aux limites. Les exposants n et n + 1 désignentdes instants successifs. On revient à l’espace de départ en multipliant tous les vecteurs parles matrices de passage correspondantes.p 25. Résultats numériquesLe traitement ainsi décrit du système obtenu dans l’espace des vecteurs propres permetun gain énorme en temps de calcul par rapport au traitement dans l’epace initial, quia été envisagé dans un premier temps [5].TAMTAM –Tunis– 2005