Tamtam Proceedings - lamsin

Modélisation d’un pieu 583avec L 0 = 4 √4E pIpEs , L 0 est ppelé longueur de transfert, et les constantes a 1 , a 2 , a 3 et a 4sont inconnues. On utilise les conditions aux limites (2) et (3).Dans le cas où le sol est découpé en N couches, la solution analytique doit être calculéepour chaque couche ; on a donc 4N constantes à déterminer. Ces constantes sontcalculées en écrivant :∗ La continuité du déplacement, de la rotation, du moment et de l’effort tranchant auxinterfaces des couches,∗ Les deux conditions aux limites en tête du pieu et les deux conditions aux limites aupied du pieu.La solution analytique de ce problème nécessite alors le calcul de quatre constantes pourchaque couche du sol, ce qui n’est pas pratique quand le nombre de couches est assezgrand. Pour calculer les coefficients a i , on doit résoudre un système linéaire plein. Dansle cas d’un grand nombre de couches, ce système est très mal conditionné. La constructiond’un préconditionnement n’est pas donc aisée du fait que la matrice est pleine. Nousproposons une approximation du problème par la méthode de différences finies en vued’utiliser une méthode de décomposition de domaines.4. ApproximationOn utilise une méthode de différences finies centrées pour discrétiser l’équation (1)et une méthode de différences finies à droite pour discrétiser les conditions aux limites.Le système linéaire obtenu est de la forme : Ax = b, où la matrice A est creuse et nonsymétrique.Pour la résolution numérique de ce système, on propose d’utiliser la méthode GMRESpréconditionnée. Pour accélérer la convergence de cette méthode, nous avons utilisé unpréconditionnement par la méthode de factorisation incomplète (ILU). L’idée de cettefactorisation est de limiter le remplissage dans les facteurs L et U lors de la factorisationLU afin d’avoir la même structure creuse dans la partie triangulaire inférieure et la partietriangulaire supérieure de A, respectivement. On obtient un préconditionnement de laforme M = ¯LŪ, avec ¯L et Ū sont les facteurs (approximatifs) incomplets.Puisque chaque couche i du sol est caractérisé par un module de sol Es i , on peut laconsidérer comme un sous domaine Ω i , avec i = 1, ..., N. On résout alors le problèmesur chaque couche Ω i en tenant compte des conditions de continuité entre les interfaces.Puisque le déplacement y est continu sur l’interface entre deux couches successives Ω iet Ω i+1 , le calcul de y i dans la couche Ω i nous permet de déterminer y i+1 dans Ω i+1 enpreant la valeur de y i sur l’interface entre ces deux couches comme condition aux limites.TAMTAM –Tunis– 2005