Tamtam Proceedings - lamsin

138 Ferchichi et al.1. IntroductionLes applications dans R 2 , {x ′ = F (x, y), y ′ = G(x, y)}, avec au moins une des composantesF ou G définie par une fonction fractionnelle rationnelle, ont souvent été rencontréesdans des applications (voir par exemple [Marimon & Sunder, 1994 ; Billings& Curry, 1996, 1997 ; Bischi & Naimzada, 1995, 1997 ; Barucci et al., 1997]). Certainespropriétés dynamiques particulières peuvent être mises en évidence, pour des applications(ou leurs inverses) ayant un dénominateur s’annulant ou prenant la forme 0/0 en un pointde R 2 .Les notions de point focal et de courbe préfocale, seront les principaux outils mathématiquesutilisés dans cette étude. Grosso modo, une courbe préfocale est une courbedont l’image par l’inverse d’une application fractionnelle se réduit à un seul point, appelépoint focal. Les effets des points focaux et des courbes préfocales sur les propriétés géométriquesd’une application rationnelle seront détaillés, dans la suite. Par exemple, l’existenced’un point focal d’une application inverse peut donner naissance à un ensembleattractant particulier, où le point focal se comporte comme un noeud pour une infinitéde courbes invariantes d’un ensemble attractant.On s’intéressera aussi à l’ensemble despoints qui annulent le dénominateur d’une application rationnelle (appelé ensemble denon-définition), pour sa relation avec la bifurcation donnant naissance à des branches nonbornées de l’ensemble instable d’un point col (ou d’un cycle col), et donc détermine desbassins d’attraction non bornés.Dans le paragraphe un, on donnera les définitions et propriétés de base des pointsfocaux et des courbes préfocales. Dans le paragraphe deux, on s’intéressera aux propriétésgéométriques des points focaux et des courbes préfocales. On prouvera, qu’il existe unlien entre bifurcation de bassin d’attraction d’un attracteur d’une application et courbepréfocale de l’application inverse, lorsque celle-ci est fractionnelle. Dans le paragraphetrois, on étudiera les notions citées ci-dessus, pour le cas de l’application de Bogdanov,comme application polynomiale ayant un inverse fractionnel.2. Définitions et propriétés des points focaux et des courbespréfocalesDans ce paragraphe nous donnerons certaines définitions et propriétés génériques liéesaux applications (x, y) → (x ′ , y ′ ) = T (x, y), de la formeT :{x ′ = F (x, y)y ′ = G(x, y) = N(x,y)D(x,y)(1)où F (x, y), N(x, y) et D(x, y) sont des fonctions polynomiales dans R 2 .TAMTAM –Tunis– 2005