Tamtam Proceedings - lamsin

298 Amir et al.L’équation (9) représente la continuité de la pression à travers la fracture γ ij et sur chaqueinterface γ ij , des lois analogues sont valides (10), (11) :div γij (⃗u γij ) = f γij + ( ⃗u i · ⃗ν i + ⃗u j · ⃗ν j ) dans γ ij (10)⃗u γij = −d ij K γij⃗ ∇γij P γij dans γ ij (11)P γij = P dijγ ijdans ∂γ ij ∩ ∂Ω D (12)u⃗γij · ⃗ν γij = 0 dans ∂γ ij ∩ ∂Ω N , (13)où d ij est l’épaisseur de la fracture γ ij , et où le terme source ( ⃗u i ·⃗ν i + ⃗u j ·⃗ν j ) représente lacontribution du flux des sous–domaines au flux de la fracture. Les deux opérateurs div γijet ∇ γij sont, respectivement, la divergence et le gradient surfaciques.Nous avons besoin d’une condition particulière au niveau de l’intersection des desinterfaces T = γ 23 ∩ γ 24 ∩ γ 34 . Nous imposerons la continuité de la pression et du flux :P γ23 = P γ24 = P γ34 = P T sur T (14)⃗u γ23 · ⃗ν γ23 + ⃗u γ24 · ⃗ν γ24 + ⃗u γ34 · ⃗ν γ34 = 0 sur T (15)4. Décomposition de domaine pour le traitement des fracturesDans la mesure où nous avons choisi de représenter les fractures par des interfacesentre les différentes parties du milieu poreux, il est naturel de résoudre le problème poséau paragraphe précédent par une méthode de décomposition de domaine. Pour cela, nouséliminons les inconnues ⃗u i , et P i à l’intérieur de chaque sous–domaine, pour nous ramenerà un problème posé sur l’ensemble des interfaces. Numériquement, nous utilisons uneméthode d’éléments finis mixtes–hybrides, qui ont fait leurs preuves pour approcher leséquations d’écoulement en milieu poreux.Plus précisément, nous introduisons dans chaque sous domaine Ω i , l’opérateur de Steklov-Poincaré S i tel queS i (λ) = (⃗u i · ⃗ν i )(λ, 0, 0)ainsi queχ i (f i ) = (⃗u i · ⃗ν i )(0, f i , P di ),où (⃗u i · ⃗ν i )(µ, g, φ) est ⃗u i · ⃗ν i pour (⃗u i , P i ) la solution du problème (5)– (9) sur le sousdomaine Ω i avec P γij = µ, f i = g et P di = φ.Les conditions sur les fractures (10)– (13) conduisent alors au système sur l’interface :4∑−→S i (λ) − div(−d K γ ∇λ) = −fγ −i=14∑χ i (f i ) (16)i=1TAMTAM –Tunis– 2005