Tamtam Proceedings - lamsin

42 LemrabetLorsque δ → 0, l’équation sur ]0, δ[ n’a plus de sens. On cherche alors une conditionaux limites approchée en 0 pour u − qui rend compte de l’effet de la couche mince ]0, δ[ .L’opérateur d’impédance T δ de la couche mince ]0, δ[ , qui à (g + , f + , ψ) associeT δ (g + , f + , ψ) = u ′ +(0) où u + est la solution du problème aux limites sur ]0, δ[⎧u ⎪⎨′′ +(x) + Au + (x) = − 1 g + (x), x ∈ ]0, δ[ ,p +u ′ +(δ) = 1 f + ,⎪⎩ p +u + (0) = ψ.joue ce rôle et on a alors un problème aux limites posé uniquement sur l’intervalle ]−1, 0[ :⎧⎨ u ′′ −(x) + Au − (x) = −g − (x), x ∈ ]−1, 0[ ,u − (−1) = f − ,⎩p − u ′ −(0 − ) = p + T δ (g + , f + , u − (0)).2. Calcul de l’opérateur d’impédanceL’opérateur B = (−A) 1 2 est inversible et génère un semi-groupe analytique V (t), t ≥0.Alors toute solution dans l’espace W 2,p (]0, δ[ ; X) ∩ L p (]0, δ[ ; D(A)) de l’équationopérationnelleu ′′ (x) + Au(x) = − 1 g + (x), x ∈ ]0, δ[p +avec g + ∈ L p (]0, δ[ ; X) est donnée paru(x) = V (x − a)c + V (b − x)d + v 1+ + v 2+(x)2avec c, d ∈ (X, D(A)) 1− 12p ,p(espace d’interpolation) etv 1+ (x) =∫ x0V (x − i)B −1 1p +g + (t)dtv et v 2+ (x) =∫ δxV (i − x)B −1 1p +g + (t)dt.Les conditions aux limites permettent de calculer les coefficients c et d et de calculerl’opérateur d’impédance.On obtientT δ (g + , f + , ψ) = − [I + V (2δ)] −1 .{[I − V (2δ)] Bψ − 2V (δ) 1p +f + − B∫ δ0}[V (2δ − t) + V (t)] B −1 1 g + (t)dt .p +TAMTAM –Tunis– 2005