Tamtam Proceedings - lamsin

Procédure spectrale avec diagonalisation 2191. IntroductionOn étudie un problème de convection naturelle thermique se développant dans un espaceannulaire horizontal compris entre deux cylindres coaxiaux différentiellement chauffés,de rayons interne r i et externe r e (figure 1). Le rapport de forme r er isera noté R. Cetespace est occupé par un milieu fluide newtonien de viscosité dynamique µ et de coefficientde dilatation thermique β. Les cylindres intérieur et extérieur sont maintenus auxtempératures constantes respectivement T i et T e avec T i > T e . Ce problème a été traitédu point de vue théorique et expérimental [8].e rqgriree qFigure 1. Schéma de définitionFigure 1. Schéma de définitionLa modélisation de cet écoulement convectif nous ramène à la résolution d’un systèmed’équations couplées du type Helmholtz. On applique le schéma de Crank-Nicolsonet le système est ensuite traité dans la base des vecteurs propres. On revient enfin à l’espaceinitial.2. Equations gouvernantes en coordonnée rectangulaires.On opére en premier une transformation conforme qui permet de se placer dans lesbonnes conditions d’application de la méthode spectrale en domaine rectangulaire[0, lnR] × [0, π]. L’ écoulement laminaire stationnaire en milieu fluide newtonien est régipar les équations suivantes [5] :⎧⎪⎨(P 1 ) =⎪⎩∂ 2 ψ∂X 2∂ 2 ω∂X 2∂ 2 T∂X 2+ ∂2 ψ∂Y= −e 2X ω2+ ∂2 ω∂Y 2+ ∂2 T∂Y 2= Rae X (cosY ∂T= ∂ψ∂Y∂T∂X − ∂ψ∂X∂Y∂T∂Y+ sinY∂T∂X ) + 1P r ( ∂Ψ∂Y . ∂ω∂X − ∂Ψ∂X . ∂ω∂Y )TAMTAM –Tunis– 2005