Tamtam Proceedings - lamsin

La pression dans les écoulements eau/air 277d’autant plus valable qu’on est en présence de fortes saturations, alors que l’équation deRichards est valable pour des milieux faiblement saturés : leurs domaines de validité sontcomplémentaires.4.3. Limites dans le cas compressibleL’existence du point fixe définissant la pression globale est liée aux valeurs de la pressioncapillaire : en effet, l’application γ est contractante à condition que la pression capillairereste faible devant la pression en eau. Or la pression capillaire prend des valeursbeaucoup plus fortes pour les écoulements compressibles eau/air que pour les écoulementspétroliers, moins compressibles.De plus dans notre cas, les valeurs de la pression capillaire sont souvent beaucoupplus proches des valeurs de la pression en eau que de celles de la pression en air. Parconséquent, pour des fortes valeurs de p c , l’approximation p a ≃ p g ne sera plus valable.Les hypothèses permettant d’utiliser la formulation pression globale ne sont donc pasvérifiées.5. Implémentation numériqueOn choisit d’implémenter les deux formulations diphasiques (“classique” et “pressionglobale”) afin de les comparer et de conclure sur la validité de la seconde formulation.Nous disposons parallèlement des résultats de l’équation de Richards.On utilise une variante de la méthode IMPES (“implicit pressure explicit saturation”,efficace pour les écoulements pétroliers, voir par exemple [5]) : on découple la résolutiondes équations en pression et en saturation, en utilisant éventuellement des pas de tempsdifférents pour chaque type d’équation, pour s’adapter aux vitesses d’évolution de chaquevariable. On choisit d’écrire un schéma explicite pour les termes de convection, afin deréduire la diffusion numérique, et implicite pour les termes de diffusion, pour des raisonsde stabilité.La discrétisation spatiale utilise simultanément des volumes finis pour les termes deconvection et des éléments finis mixtes pour les termes de diffusion. On utilise une méthodede Newton pour résoudre les équations discrétisées, non linéaires.Des résultats numériques seront montrés pendant la conférence.6. ConclusionEn ce qui concerne la résolution de l’équation en saturation, le comportement généraldes solutions des formulations “classique” et “globale” est identique, on observe defaibles variations numériques. Cependant, l’utilisation du code diphasique pour résoudrel’équation de Richards est très coûteuse en temps de calcul : l’ampleur des non linéaritésTAMTAM –Tunis– 2005