Tamtam Proceedings - lamsin

114 B. Abdelkader1. IntroductionTel qu’il est décrit dans [2], [4] et [5] le concept de fleuve est lié au comportementlent-rapide des trajectoires de champs de vecteurs de la forme :εdy/dx = f(x, y), ε > 0, ε ≃ 0 (1)où f est de classe C 1 et possède une ombre continue (noté ◦ f) . Ces solutions qu’on appellefleuves sont des portions de trajectoires régulières 1 appartenant à la courbe lented’équation ◦ f(x, y) = 0 et à croissance polynômiale 2 .Pour les équations différentielles ordinaires de la forme :dY/dX = F (X, Y ) où F est de classe C 1 , (2)de nombreux résultats ont été publiés pour le cas régulier. Citons par exemple, [4], [5],[7] où le phénomène est étudié d’une manière approfondie, et notons que lorsque F estrationnelle, à l’aide d’un macroscope 3 on ramène l’équation (2) à la forme (1) puis par latechnique du polygône de Newton 4 on étudie le phénomène pour le cas régulier (voir [1],[5]).Figure 1. Exemples de fleuve régulier (a) et fleuve singulier (b) ainsi que leurs polygonesde Newton (c) avec leurs normales sortantes (en flèches).Or, Il est apparu (exemple 2 de la figure 1) que certaines trajectoires de champs devecteurs ont l’allure de fleuve mais ne vérifient pas la condition de régularité. Ce sontce qu’on appelle les "fleuves singuliers" et leurs première étude fût faite dans [3], avec1. Une trajectoire ω(x) de (1) est régulière si f ′ y(x, ω(x)) est non nul pour tout x appréciable positif.2. Une fonction différentiable Φ :[A,+∞[−→R est dite à croissance polynômiale en X=+∞ s’il existekɛR + tel que limX→+∞ Φ(X)/Xr = k . On note alors Φ(X) ∼ kX r .3. Un r-macroscope est l’application M r : R 2 −→ R 2 défini par M r(X, Y ) = (εX, ε r Y ), r ɛ R, ε ɛR ∗ + , et ε ≃ 0.4. On appelle polygône de Newton associé à un polynôme Q(X,Y)= ∑ a i X m iY n i et on note N(Q),iɛI⊂Nla frontière de l’enveloppe convexe de l’ensemble E(Q)={(m i , n i ) , iɛI}.TAMTAM –Tunis– 2005