Tamtam Proceedings - lamsin

Equilibre dans un système dynamique 145Remarque 1.1. Pour que le problème (3) (i)(ii) admet une solution, on suppose que :(H0)a + θ ≥ 0.Dans tout le papier les hypothèses ( H ) et ( H 0)sont satisfaits.Pour comprendre l’évolution du système il est nécessaire de connaître le comportementde la charge et des moments quand le minimum de l’épaisseur H tend vers 0.Avant d’étudier l’existence d’une solution du système (3), on montre dans la section 2des résultats sur le comportement asymptotique, quand la surface supérieur tend vers lasurface inférieur.2. Comportement asymptotiqueDans cette partie on prend h 0 sous la forme :h 0 (x) = (1 − x 1 ) α h 1 (x) avec α ≥ 1h 1 (x) ∈ C 1 (Ω) avec 0 < m < h 1 < M∀x ∈ Ω. Alors, il existe C > 0 indépen-LEMME 2.1. Si h 1 > 2 3 αM + 1 − x 1 ∂h 1α ∂x 1dante de a telle que :p ≤ ¯q 1 =∫ x1−1C(M(1 − s)α + a ) 2 dsLEMME 2.2. Il existe δ 0 ∈] − 1, 1[, tel que pour toute φ ∈ C 2 ([δ 0 , 0]), avec φ(δ 0 ) = 0et pour tout q 2 ∈ C 2 ([−1, 0]), avec q 2 (−1) = q 2 (0) = 0, on a :p(x 1 , x 2 ) ≥ cq 1 (x 1 )q 2 (x 2 )φ(x 1 ), ∀x = (x 1 , x 2 ) ∈ Ωδ 0 =]δ 0 , 1[×] − 1, 1[.c est une constante suffisamment petite et :q 1 (x 1 ) =(1 − x 1 ) α+1(M(1 − x1 ) α + a) 3Démonstration. L’ingrédient principale pour les deux lemmes est le principe de Maximum.On peut maintenant énoncer le résultat principal .THÉORÈME 2.1. Soit h 0 de la forme :h 0 (x) = h 1 (x) ( 1 − x 1) αavec h1 ∈ C 2 (Ω), m < h 1 (x) < M ∀x ∈ Ω et α ≥ 1Alors on a :TAMTAM –Tunis– 2005