Tamtam Proceedings - lamsin

Régularisation pour l’aéroacoustique 4874. Résultat d’existence et d’unicité d’une solution forteSoit l’espace de Hilbert H := H 0 (Ω) × L 2 (Ω) 2 oùH 0 (Ω) := { ξ ∈ (H 1 (Ω)) 2 / ξ · n = 0, sur ∂Ω } .Pour appliquer le théorème de Hille-Yosida, nous introduisons une nouvelle variableζ = DξDt . Si on pose U = (ξ, ζ)t , on peut alors récrire (6) sous la forme suivante :⎧⎨⎩⎛dUdt + A sU = F⎜avec A s U = ⎝U(0) = U 0−ζ + M ∂ξ∂x−∇(div ξ) + s rot (rot ξ) + M ∂ζ∂x⎛⎞ξ ( )0⎜U 0 = ⎝ξ 1 + M ∂ξ ⎟0⎠ et F =.0f + s rot ψ∂xLe domaine de l’opérateur non borné A s est défini par :D(A s ) = { U = (ξ, ζ) t ∈ H tel que A s U ∈ H } .En utilisant l’identité de Costabel [3] et la théorie de Hille-Yosida, nous montrons leThéorème 4.1 (Existence et unicité d’une solution forte) : Si min(1, s) > M 2 , alorspour f ∈ C 1 (R + ; L 2 (Ω) 2 ) et (ξ 0 , ξ 1 ) ∈ D(A s ), le problème (6) admet une uniquesolution forte vérifiant :ξ ∈ C 1 (R + ; H 0 ) ∩ C 2 (R + ; L 2 (Ω) 2 )On peut vérifier que si la source f est nulle, l’énergie de l’équation du Galbrun régularisée:E s (t) = 1 ∫ (| ∂ξ2 ∂t |2 + | div ξ| 2 + s | rot ξ| 2 − M 2 | ∂ξ )∂x |2 dΩ (7)se conserve au cours de temps.Ω⎞⎟⎠ ,5. Résolution numérique de l’équation de GalbrunLa résolution numérique en conduit non borné pose des questions délicates liées auxconditions aux limites sur les bords artificiels du domaine de calcul. Cet aspect n’est pastraité dans cette note. Nous proposons ici une méthode numérique de calcul du champ dedéplacement dans une portion bornée Ω b du conduit en imposant, pour simplifier, ξ·n = 0sur les bords artificiels latéraux.TAMTAM –Tunis– 2005