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Dimensions fractales : attracteurs de Lorenz,attracteurs pour les équations deNavier-Stokes et arcs trinomiauxK. Lamrini Uahabi * , M. Zaoui *** Département de mathématiques, B.P. 524Université Mohamed PremierOUJDAMAROCkaoutar.lamrini@laposte.net** Département de mathématiques, B.P. 524Université Mohamed PremierOUJDAMAROCzaouim@wanadoo.net.maRÉSUMÉ. La dimension fractale est l’outil principal de l’analyse fractale. Cette dernière trouve sesapplications dans les différentes disciplines scientifiques telles la physique, la chimie, la biologie, lagéographie, etc. Il s’agit de traiter les exemples d’applications suivants : les attracteurs pour leséquations de Lorenz, les attracteurs pour les équations de Navier-Stokes et les arcs trinomiaux.ABSTRACT. The fractal dimension is the principal tool of the fractal analysis. There exist manyapplications of this analysis in different scientific areas such as physics, chemistry, biology, geography,...etc.In this paper, we will study following examples: Lorenz attractors, Navier-Stokes attractorsand trinomial arcs.MOTS-CLÉS : Dimension fractale, attracteur, équations de Lorenz, équations de Navier-Stokes, arcstrinomiaux.KEYWORDS : Fractal dimension, attractor, Lorenz equations, Navier-Stokes equations, trinomialarcs.TAMTAM –Tunis– 2005 260
Dimensions fractales 2611. IntroductionLes fractals sont des objets mathématiques suffisamment « irréguliers » et « brisés »pour échapper au traitement des outils de l’analyse classique. Vu la diversité de ces fractalset leur complexité, il existe plusieurs définitions des dimensions fractales et qui necoïncident pas toujours. Citons entre autres, la dimension de Hausdorff et la dimensionde Boîtes. Elles servent à mesurer le « taux de remplissage » ou le « degré d’irrégularité», par exemple dans le plan, d’une courbe fractale. Dans ce travail, nous allons nous entenir aux trois exemples de fractals suivants :- Attracteurs de Lorenz : Les attracteurs de certains systèmes dynamiques, dont les équationsdifférentielles sont non-linéaires sont d’une structure très irrégulière ; ils sont ainsides fractals. L’un des exemples le plus révélateur qui soit est l’attracteur de Lorenz.- Attracteurs pour les équations de Navier-Stokes : Ces équations différentielles sont leséquations fondamentales de l’étude de la dynamique des fluides. En fait, à de grandes vitesses,le comportement des fluides visqueux devient turbulent, de telle sorte qu’il décritdes trajectoires irrégulières qui pourront être des fractals.- Arcs trinomiaux : Ce sont les trajectoires des racines des équations trinomiales nonlinéairesz n = αz k + (1 − α), où z un complexe, n et k des entiers naturels tels que1 ≤ k ≤ n − 1 et α un réel.2. Dimension de HausdorffSoient F ⊂ 3 2 et d > 0. (U i ) i∈N est un δ-recouvrement de F si :F ⊂ ∪ i=1,···,∞ U i et 0 < |U i | ≤ δ, pour tout i ∈ N.Soit s un réel positif. Pour tout δ > 0, on définit :H s δ(F ) = inf{ ∑ |U i | s: (U i ) est un δ-recouvrement de F}.On note H s (F ) la limite de H s δ(F ) quand δ tend vers 0. Cette limite existe pour toutF ⊂ 3 2 et peut être 0 ou l’infini. H s (F ) est la s-mesure de Hausdorff. La dimension deHausdorff de F est : dim H (F ) = inf{s : H s (F ) = 0} = sup{s : H s (F ) = +∞}.3. Dimension de BoîtesSoient F ⊂ 3 2 , D le disque unité de 3 2 et ɛ > 0. La saucisse de Minkowski de Fest l’ensemble F + ɛD = ∪ x∈F B ɛ (x), où B ɛ (x) = {y ∈ F : d(x, y) < ɛ} (d est ladistance Euclidienne). En désignant par |F + ɛD| 2 l’aire de la saucisse de F, la dimensionde Boîtes de F est définie par : dim B (F ) = lim e−→0 (2 − log |F + ɛD| 2 / log ɛ).TAMTAM –Tunis– 2005
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PréfaceOrganiser la seconde éditi
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Comité d’organisationMohamed Abd
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SOMMAIRE / CONTENTSI Conférences I
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Equilibre dans un système dynamiqu
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Arlequin method: Practical impacts
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Application de la méthode de Gauss
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Conférences InvitéesInvited Prese
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4 Amara et al.1. IntroductionWe are
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6 Amara et al.2.2. The nonlinear Na
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8 Amara et al.4. Numerical resultsW
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10 Auger et al.1. Introduction :Dan
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12 Auger et al.La condition de stab
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16 Auger et al.L’équilibre rapid
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18 Auger et al.[7] BRAVO DE LA PARR
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Quelques aspects mathématiques etn
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22 El Alaoui Talibi M.- Modèle d
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24 El Alaoui Talibi M.[3] M. Chamba
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26 Habbal1. IntroductionAngiogenesi
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28 HabbalThe pressure drop denoted
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30 Habbaltheorem 1 There exists a N
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32 HabbalFigure 2. Second Nash loop
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34 Hauray et al.1. IntroductionWe a
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36 Hauray et al.minimal time interv
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38 Hauray et al.From this last theo
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Approximation de l’opérateur d
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42 LemrabetLorsque δ → 0, l’é
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44 Lemrabetavec[∆ ∗ (δ)c = [I
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48 Jaafar-Belaid et al.1. Introduct
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IIContrôleControl55
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60 ArfaouiLe système adjoint assoc
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62 Arfaoui[3] H. ARFAOUI , « Comma
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64 Benzekri et al.1. Global control
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66 Benzekri et al.ẏ = ∂H∂x =
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0 1 2 3 4 5 668 Benzekri et al.32.5
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70 Akian et al.1. IntroductionWe co
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72 Akian et al.We prove that v t+δ
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76 Bokanowski et al.1. General fram
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Sur les problèmes de contrôle opt
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86 MetouiThéorème 2 Soit ū ε le
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88 Metoui[5] L.S. HOU, S.S. RAVINDR
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Système d’information intégré
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Gestion et modélisation des ressou
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Random perturbations of reduced gra
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Global Optimization of Water Resour
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Global Optimization of Water Resour
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IVEquations DifférentiellesDiffere
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114 B. Abdelkader1. IntroductionTel
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116 B. AbdelkaderNotons que les con
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118 B. AbdelkaderAlors pour tout X
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120 Bouzahir1. IntroductionWe consi
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122 Bouzahirwhere the linear operat
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Goursat boundary value problem forh
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126 A. Guezane-Lakoud et al.3. Func
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128 A. Guezane-Lakoud et al.5. Exis
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ACP neuronale : application à l’
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132 Chitroubl’approximation de la
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134 Chitroubcompression égal à 3.
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136 Chitroub[4] J. P. Nougier, Mét
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138 Ferchichi et al.1. Introduction
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140 Ferchichi et al.soit T −1 = (
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144 Hafidi1. IntroductionOn étudie
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148 HafidiLEMME 3.2. On a lim R(θ
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150 Lefebvre1. IntroductionSoit (X
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152 LefebvreOn peut aussi écrire q
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154 Lefebvre5. BibliographieD.R. Co
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156 Meskine1. IntroductionDans le p
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158 Meskinefaibles σ( ∏ L M ,
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160 Meskine[12] E. YA. KHRUSLOV, L.
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162 K. Saoudi1. IntroductionL’ét
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164 K. Saoudice qui montre que la s
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166 K. Saoudieton aboutit au résul
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170 K. SaoudiRemarque 3.1. Du lemme
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172 K. Saoudiet∫v(t, x) dxΩest c
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VEstimation d’ErreursError Estima
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178 Achchab et al.1. IntroductionDu
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180 Achchab et al.such that}Xh 2 ={
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182 Achchab et al.[2] B.ACHCHAB, M.
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184 Alla et al.1. IntroductionLes e
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186 Alla et al.3. Position du probl
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IsoValue-0.00070533-0.000604452-0.0
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190 Achchab et al.1. IntroductionLe
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192 Achchab et al.où T hi/2 est le
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IsoValue0.000933570.002800710.00840
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196 El Dabaghi et al.1. Motivation
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198 El Dabaghi et al.0 ≤ λ i ≤
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200 El Dabaghi et al.Figure 4. Mail
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Residual error estimators for the t
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204 Kharrat et al.The step (3) need
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0.00e+00 1.00e−11 2.00e−11 3.00
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Homogénéisation d’un problème
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Problème de conduction-rayonnement
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Détermination du nombre de région
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Une méthode d’accélération de
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Schéma SRNHS 3491. IntroductionUn
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Schéma SRNHS 3535. ConclusionLes r
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Smoothing and compressing surfaces
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Problème de convection en milieu p
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0
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Condensation de masse pour la méth
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Condensation de masse 369Le terme h
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VIIIModèles CinétiquesKinetic Mod
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382 Degond et al.1. IntroductionOn
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384 Degond et al.q φ s (x, t)/(|q|
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Les métaheuristiques : application
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Les métaheuristiques 391simulé fu
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Les métaheuristiques 393Fig. 1 Dia
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Les métaheuristiques 395Fig.4 : R
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Prices after capacity addition in m
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Multi-user elastic demand communica
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Shape optimization 4051. Introducti
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Shape optimization 4072.1. Variatio
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Problèmes d’optimisation en éco
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Assimilation de données pour l’e
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Écart à la Réciprocité et ident
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Identification de fissures planes 4
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Algorithme de Kohn et Vogelius 4331
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Algorithme de Kohn et Vogelius 435l
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Résolution d’un problème de Cau
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Identification de fissures 4511. In
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Application de l’algorithme deNeu
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Complétion de données en élastic
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Analytic extensions on an annulus:a
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Analytic extensions on an annulus 4
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Analytic extensions on an annulus 4
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Cauchy problem for Laplace’s equa
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Modélisation asymptotique des onde
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Ondes de relief 479 uuuv 1 1 pu v
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Ondes de relief 481( )ˆeiZw( C e D
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Ondes de relief 4836. Bibliographie
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Régularisation pour l’aéroacous
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Miroir à retournement temporel 491
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Vibro-acoustique instationnaire 497
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Vibro-acoustique instationnaire 499
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Ondes dans les milieux poroélastiq
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The implicitly restarted Arnoldi me
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¨§¨ §IRAM method 509To overcome
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IRAM method 511The application of t
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518 AchchabNous montrons dans le pa
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A Stochastic partial differential e
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534 Ben Miled et al.1. Introduction
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Optimal spatial distribution of a b
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XIIIStructureStructure547
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Analyse mathématique et numérique
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Résolution d’un systéme d’ela
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Régularisation d’un problème d
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Modélisation d’un pieuR. Aboulai
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XIVThéorie des GraphesGraph Theory
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TAMTAM -Tunis- 2005 602
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El Guarmah, M., 218El Kacimi, A., 2
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