Tamtam Proceedings - lamsin

Méthode d’agrégation des variables 11L’équation générale qui représente l’évolution de le densité de la sous-population à l’échelledu temps rapide s’é crit :dn α jdτ = f α j (n α 1 , .., n α N α) + ε a∑avec α ∈ {1, A} , j ∈ {1, N α } .β≠α,β=1f αβj (n a 1, .., n α N α, nβ 1 , .., nβ N β ) (1)Le terme fj α(nα 1 , .., n α N α) représente le processus rapide (interactions intra-groupe), etle terme ∑ aβ≠α,β=1 f αβj (n a 1, .., n α N α, nβ 1 , .., nβ ) représente le processus lent (interactionsinter-groupes). Le paramètre ε sans dimension représente le rapport entre l’échelleN βde temps rapide et l’échelle de temps lente.La procédure d’agrégation des variables commence par une étape importante qui consisteá choisir des variables globales V α , α ∈ {1, A} . En général, chaque variable globalecorrespond à une population α et dépend de toutes ses sous-populations. De plus, cesvariables globales V α doivent être constantes à l’échelle du temps rapide. Dans cette section,nous nous limitons au choix usuel suivant :∑V α (t) = n α (t) = n α j (t), α ∈ {1, A} (2)N αj=1où n α (t) représente la densité de la population totale α à l’instant t.Pour appliquer la méthode d’agrégation, le systè me rapide doit être conservatif :∑N αj=1fj α (n α 1 , .., n α N α) = 0, ∀α ∈ {1, A} (3)L’étape suivante de la méthode consiste à calculer l’é quilibre rapide. Autrement dit, onnéglige la partie lente du systè me en posant ε = 0, puis on résoud le système d’é quations: {fαj (n α 1 , .., n α N α) = 0,∑ Nαj=1 nα j = (4)nαpour tout α ∈ {1, A} .Le système (4) peut avoir plusieurs solutions comme il peut n’avoir aucune solution.Dans ce qui suit, nous supposons que (4) admet une solution unique et que cette solutionest asymptotiquement stable pour le système rapide{ dnαjdτ= fj α(nα 1 , .., n α N∑ α)Nαj=1 nα j = (5)nαTAMTAM –Tunis– 2005