Tamtam Proceedings - lamsin

220 El Guarmah et al.où Ra et P r sont deux nombres sans dimension respectivement de Rayleigh et Prandtl.Ψ est la fonction de courant, ω le rotationnel de la vitesse et T la température. Un secondnombre de Rayleigh Ral = Ra(R−1) 3 servira à présenter les résultats, afin de permettreles comparaisons avec le problème de Rayleigh-Bénard.Les conditions aux limites s’écrivent :⎧∂Ψ⎪⎨X = 0 : Ψ = 0, = 0, T = 1 , ∀Y∂X(C 1 ) =X = lnR : Ψ = 0 , ∂Ψ⎪⎩∂X = 0 , T = 0 , ∀YX = 0 et X = lnR : ω = −e −2X ∂2 Ψ∂X, ∀Y2Des conditions de symétrie par rapport au plan vertical contenant l’axe des cylindressont introduites :{∂T(S 1 ) = Y = 0 et Y = π : Ψ = 0 ,∂Y = 0 , ω = 0 , ∀X3. Approximation SpectraleOn utilise dans la direction angulaire périodique un développement de Fourier quiconsiste à écrire une approximation de la solution de la forme suivante :⎧∑Ψ = N f p (X)sin(py)p=0⎪⎨ ∑(1) = ω = N h p (X)sin(py)⎪⎩p=0∑T = 1 − αX + N g p (X)cos(py)Substituant les expressions (1) dans (P 1), on obtient un système d’équations de Helmholtzcouplées sous la forme :Pour p = 0 . . . . . . . . . N⎧f p⎪⎨′′ (x) − p24α 2 f p(x) = F p (x)h ′′p(x) − p24α 2 h p(x) = H p (x)⎪⎩ g p ′′ (x) − p24α 2 g p(x) = G p (x)où x = 2αX − 1 , x ∈ [−1, 1]Dans la méthode spectrale que nous utilisons, le problème est discrétisé en des pointsp=0TAMTAM –Tunis– 2005