Tamtam Proceedings - lamsin

86 MetouiThéorème 2 Soit ū ε le contrôle optimal pénalisé, le couple (ȳ ε , ¯p ε ), formé par l’état optimalpénalisé et l’état adjoint pénalisé est l’unique solution du problème mixte suivant :chercher (ȳ ε , ¯p ε ) ∈ L 2 (Q) × W ε (Q) avec ∀(q, z ε ) ∈ L 2 (Q) × W ε (Q)( ∂ ¯p ε∂n , ∂z ε∂n ) L 2 (Σ)+ (¯p ε (T ), z ε (T )) L2 (Ω)+( − ∂z ε∂t − ∆z ε, ȳ ε )L 2 (Q)= −(y T , z ε (T )) L2 (Ω)(10)(− ∂ ¯p ε∂t − ∆¯p ε, = 0,q)L 2 (Q)où,W ε (Q) = {z ε ∈ L 2 (]0, T [; H 1 (Ω)) ∩ H 1 (]0, T [; H −1 (Ω)),∂z ε∂n + z ε = 0,∂z ε∂t + ∆z ε ∈ L 2 (Q)},muni de la norme :‖z ε ‖ 2 W ε(Q) = ‖z ε(T )‖ 2 L 2 (Ω) + ‖∂z ε∂n ‖2 L 2 (Σ) + ‖∂z ε∂t + ∆z ε ‖ 2 L 2 (Q) .De plus, on a :‖ȳ ε ‖ L2 (Q) + ‖¯p ε ‖ Wε(Q) ≤ C‖y T ‖ L2 (Ω). (11)où C est une constante indépendante de ε.Enfin, nous montrons le résultat de convergence suivant :Théorème 3 La solution optimale pénalisée (ȳ ε , ū ε , ¯p ε ) ∈ L 2 (Q) ∩ L 2 (Σ) ∩ W ε (Q)converge fortement vers celle de Dirichlet (ȳ, ū, ¯p) ∈ L 2 (Q) ∩ L 2 (Σ) ∩ W (Q).4. Résultat NumériqueOn illustre dans cette section un test numérique concernant la convergence de la solutionoptimale pénalisée vers celle de Dirichlet, lorsque ε vers zéro. Nous considérons lasolution exacte du problème de contrôle (4) et (5) donnée par :ȳ(x 1 , x 2 , t) = 4πexp (x1+x2+2t) + r 2 3 sin2θ3et ū(x 1 , x 2 , t) = (ȳ(x 1 , x 2 , t)) |Σ ,où r et θ sont les coordonnées polaires d’un point M(x 1 , x 2 ) dans Ω = [0, 1] 2 \ [0, 1 2 ]2 ,r étant la distance entre M(x 1 , x 2 ) et O(0, 0), et θ est l’angle entre (OA) et (OM) oùTAMTAM –Tunis– 2005