Tamtam Proceedings - lamsin

434 Chaabane et al.On définit une foncion coût J sur Q ad par :∫J(q, f) = |∇u N (q) − ∇u D (q, f)| 2 +Ω∫γq |u N (q) − u D (q, f)| 2En se référant à [3], la fonction J admet un unique minimum qui est la solution q duproblème inverse(PI), qui se transforme au problème d’optimisation suivant :⎧⎨ Trouvez q ∈ Q ad tel que(PO)⎩J(q, f) ≤ J(ξ, f) ∀ ξ ∈ Q ad .2. Étude de la robustesse du probleme de KvSoit f ε une suite des mesures perturbées dans L ∞ (Γ N ) vérifiant :lim ‖f ε − f‖ ∞,ΓN = 0.ε→+0Dans ce cas la paire des données (φ, f ε ) n’est plus compatible, ce qui signifie que leproblème inverse (PI) n’admet pas de solution et que le problème d’optimisation (PO ε )associé à cette paire des données n’est plus équivalent au problème inverse.2.1. Stabilité de L’algorithmeEn se référant à [1], on a prouvé dans le cas où lim ‖f ε − f‖ 1ε→+0 2 ,Γ Nsuivants :• Existence :·Il existe q ε ∈ Q ad tel que inf J(q , f ε ) = J(q ε , f ε ).q ∈ Q ad• Convergence de l’algorithme de KV :limε→0 J(qε , f ε ) = 0.• Un résultat de stabilité :q ε converge vers ¯q fortement dans L 2 (γ).2.2. Étude de la robustesse du probleme de Kv= 0 les résultatsDans tout ce qui suit, on suppose que la mesure f est dans C n (Γ N ) et on considèreun cas général où les perturbations des données ne sont pas régulières c’est à diref ε /∈ H 1 2 (ΓN ).Le probléme inverse sera résolu à partir des données lissées. La technique de lissage parTAMTAM –Tunis– 2005