Tamtam Proceedings - lamsin

Ondes dans les milieux poroélastiques 505nous utilisons une formule de quadrature pour approcher le calcul des intégrales. Aprèsla discrétisation en espace, nous aurons le système matricielle :⎧dV hD udt + D dW hd∑uw + R Σ i h = 0,dti=1Duw∗ dV hdt + D dW hw + KW h + R ∗ P h = 0,dt⎪⎨⎪⎩dΓ i hD γ − R ∗ V i h = 0,dtd∑D γ Σ i h − T ij Γ j h + G i P h = 0,D pdP hdt+j=1d∑j=1G ∗ dΓ i hj − RW h = F.dt∀ i = 1, d∀i = 1, dLa matrice D p est diagonale et les matrices D v , D w , D γ et T ij ∀ i, j = 1, d sont diagonalespar bloc de taille d × d. La matrice D γ est inversible, nous simplifions le derniersystème, en éliminant les inconnues Σ i h = Dγ−1 ∑ dj=1 T ijΓ j h − D −1γ G i P h ∀ i = 1, d.4.2. Discrétisation en temps et Analyse de stabilitéPour la discrétisation en temps, nous utilisons un schéma aux différences finies surdeux maillages décalés en temps, centré, d’ordre 2, totalement explicite et auquel on aassocié une quantité d’énergie discréte décroissante. En utilisant une technique d’énergienous montrons une condition suffisante de stabilité (voir [5]) :∆t 24(6)qsup 1 (V h , W h )≤ 1, (7)V h ≠0, W h ≠0 q 2 (V h , W h )où q 1 et q 2 sont deux formes quadratiques positives ne dépendent que des matrices D u ,D w , D γ , D uw , R, T ij et G i ∀ i, j = 1, d.5. Résultats numériquesDans une première validation de la méthode développée, nous comparons la solutionapprochée avec une solution analytique. On se place dans un domaine Ω = [0, 6] ×[0, 6] m 2 occupé par un matériau poroélastique homogène, isotrope, non dissipatif (K =+∞) et caractérisé par les données physiques : ρ = 1.8 kg/m 3 , ρ f = 1. kg/s, ρ w =7.5 kg/m 3 , µ = 4 P a, λ 0 = 5.93 P a, m = 10 P a, β = 0.295, ce qui correspond auxvitesses V pf = 2.93 m/s, V ps = 1.19 m/s, V s = 1.95 m/s, où V pf est la vitesse de lapremière onde P (fast wave), V ps est la vitesse de la deuxième onde P (slow wave) etV s la vitesse de l’onde S. On considère une source de pression f p ponctuelle en espace,localisé au centre du milieu, le signal temporel est une gaussienne en temps. La solutionTAMTAM –Tunis– 2005