Tamtam Proceedings - lamsin

22 El Alaoui Talibi M.– Modèle d’Elrod-Adams : Dans ce modèle on introduit comme inconnue supplémentairela concentration θ du lubrifiant dans le film pour obtenir une équation valabledans tout le domaine, ce qui conduit à la formulation variationnelle :⎧⎨⎩(θ, ∫ p) ∈ L ∞ (Ω) × VΩ h3 ∇p.∇ϕ − θhU.∇ϕ dx = ∫ Γ 0θ 0 hϕ dx 2θ ∈ H(p)∀ ϕ ∈ Vθ 0 étant un débit d’entrée assurant l’alimentation du palier et H le graphe d’ Heavisidedéfini par :⎧⎨ 1 if r > 0H(r) = [0, 1] if r = 0⎩0 if r < 0,et l’espace V par :V = { ϕ ∈ H 1 (Ω); ϕ = 0 on Γ } ,– Modèle d’Elrod : En introduisant une loi de compressibilité reliant la saturation dulubrifiant et la pression dans le film on obtient une équation valable dans tout le domaineayant la formulation varitionnelle :{ Trouver p ∈ L 2 (Ω) vérifiant p + ∈ H 1 (Ω), B(p) ≥ 0∫Ω h3 ∇p + ∇φ dxdy − ∫ ∂φhB(p)Ω ∂x dxdy = 0 ∀φ ∈ V, (4)où l’opérateur B est associé à la loi de compressibilité considérée.(3)3. Etude du problème direct associé au modèle d’ElrodNous donnons ici un résultat d’existence et d’unicité pour le problème (4), utilisant unlemme de Ky Fan Genéralisé. Ces résultats généralisent et complètent ceux de [3].4. Problème inverse associé au modèle d’ElrodDans [1, 7, 6, 5], nous avons étudié les problèmes d’identification pour les modèles (2)et (3). Nous présentons ici une étude récente de ces problèmes pour le modèle d’Elrod.Le problème de contrôle que nous étudions se formule ainsi :où(M){∥Min J(h) = 1 2 ‖p(h) − p d‖ 2 = 1 ∥2∥β log(1 + 1 ∥∥2β p+ (h)) − p d(5)h ∈ U adU ad = {h ∈ BV (Ω) ∩ L ∞ (Ω) / 0 < a ≤ h ≤ b p.p et ‖Dh‖ (Ω) ≤ C}TAMTAM –Tunis– 2005