Tamtam Proceedings - lamsin

Miroir à retournement temporel 493On suppose que le champ mesuré par le miroir M est égal à la trace du champ diffractésur ∂M (g m = ϕ D/∂M ). Le signal mesuré est ensuite conjugué puis utilisé pour générerles nouvelles ondes incidente et totale.2.1. Opérateur de R.T.On note par D l’opérateur qui décrit un cycle du processus de R.T. sans l’étape deconjugaison (R.T.). D est défini sur L 2 (∂M) par :Dg = g m = ϕ D/∂MDeux itérations successives du processus de retournement temporel donne l’opérateur deretournement temporel T . T est alors défini sur L 2 (∂M) par :T g = DDgThéorème 1 Si M est un ouvert borné régulier (∂M est C ∞ ) alors T est un opérateurautoadjoint positif et compact.La démonstration du théorème repose sur la symétrie des fonctions de Green G I , G T etG D définies pour x ∈ IR 2 \(M ∪ O) par :⎧∆G T (x, .) + k 2 G T (x, .) = −δ x dans IR 2 \(M ∪ O)⎪⎨∂G T (x, .)+ µG T (x, .) = 0 sur ∂M∂n(4)∂G T (x, .)= 0 sur ∂O⎪⎩ ∂n⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩C.R. à l’∞∆G I (x, .) + k 2 G I (x, .) = −δ x dans IR 2 \M∂G I (x, .)+ µG I (x, .)∂nC.R. à l’∞= 0 sur ∂M∆G D (x, .) + k 2 G D (x, .) = 0 dans IR 2 \(M ∪ O)∂G D (x, .)+ µG D (x, .) = 0 sur ∂M∂n∂G D (x, .)= − ∂G I(x, .)sur ∂O∂n∂nC.R. à l’∞Puisque ∂M est C ∞ alors G T et G I sont continues sur {(x, y) ∈ IR 2 \(M ∪ O) ×IR 2 \(M ∪ O), x ≠ y} ([3]). Or elles sont symétriques sur Ω × Ω, alors, par continuité,elles le sont sur {(x, y) ∈ IR 2 \(M ∪ O) × IR 2 \(M ∪ O), x ≠ y}. On en déduit queG D = G T − G I l’est aussi.Comme G D est C ∞ sur {(x, y) ∈ IR 2 \(M ∪O)×IR 2 \(M ∪O), alors G D est symétrique(5)(6)TAMTAM –Tunis– 2005