Tamtam Proceedings - lamsin

488 Berriri et al.5.1. DiscrétisationConsidérons X h un espace d’approximation de l’espace de Hilbert H 0 (Ω) construitavec des éléments finis de Lagrange. La formulation variationnelle régularisée approchéeest donnée par :avec∫a s (ξ, η) =d 2dt 2 (ξ h, η h ) + d dt b(ξ h, η h ) + a s (ξ h , η h ) = (f, η h ) ∀η h ∈ X h (8)Ω bdiv ξ div η + s rot ξ rot η − M 2 ∂ξ∂x · ∂η∂x , b(ξ, η) = ∫Ω b2Mξ ∂η∂xOn peut vérifier facilement que a s (ξ, η) est H 0 (Ω b )-elliptique (voir [3]).Il reste à effectuer la discrétisation en temps. Pour cela, nous utilisons le schéma auxdifférences finies saute-mouton qui est centré, explicite et du second ordre en temps :ξ n+1hM h− 2ξ n h + ξ n−1hξ n+1h∆t 2 + B h− ξ n−1h2∆t+ A h ξ n h = F n h (9)M h est la matrice de masse. A h et B h sont les matrices associées respectivement auxformes bilinéaires a s (., .) et b(., .)5.2. Condition de stabilitéL’étude de la stabilité par une technique énergétique consiste à définir une énergiediscrète, analogue à l’énergie continue, de telle façon que l’on puisse déterminer unecondition suffisante de stabilité.Théorème 5.1 Une condition de stabilité suffisante pour assurer la convergence du schémanumérique (9) est donnée par :△t 24 ‖A h‖ ≤ 1, où ‖A h ‖ = supξ h ∈X h −{0}a s (ξ h , ξ h )‖ξ h ‖ 2 . (10)6. Simulations numériquesL’expérience suivante simule la propagation d’un signal émis par une source gaussienneen temps et à support compact en espace, placée au centre du domaine de calculdans un écoulement uniforme orienté selon l’axe (Ox). On vérifie sur ces résultats que laméthode n’est stable que si l’équation est régularisée.TAMTAM –Tunis– 2005