Tamtam Proceedings - lamsin

262 Lamrini Uahabi et al.4. Attracteurs de LorenzDans cette section, nous donnerons un aperçu sur l’un des travaux caractéristiques surles notions d’attracteurs et sur l’estimation de leurs dimensions, à savoir, celui de E. N.Lorenz ([7]).4.1. Quelques notions préliminairesSoit D ∈ 3 n et f : D −→ D une application continue. Soit f k la k ième itération def. Ainsi, f k (x) appartient à D pour tout k lorsque x est un point de D. Dans certains cas,f k (x) peut se déplacer au hasard, mais en restant toujours proche d’un certain ensemble,appelé attracteur, qui pourra être un ensemble fractal.Définition 1. ([4]) Un sous-ensemble F de D est un attracteur de f si les deux conditionssuivantes sont satisfaites :(i) F est un ensemble fermé qui est invariant sous l’action de f (i. e. f(F ) = F ).(ii) Il existe un ensemble ouvert V contenant F , tel que la distance de f k (x) à F convergevers 0 quand k tend vers l’infini, pour tout x dans V . L’ensemble V est appelé bassind’attraction de F .Définition 2. ([1]) Un attracteur F de f est dit attracteur étrange si f est sensible auxconditions initiales ; i. e. il existe un nombre δ > 0 de telle sorte que pour tout x dans F ,il existe des points y dans F arbitrairement proches de x tels que |f k (x) − f k (y)| ≥ δpour un certain k.Remarque. Il est à signaler que les équations différentielles dx/dt = f(x) qui sontlinéaires (i. e. f(x) est une fonction linéaire) peuvent être complètement résolues parles méthodes classiques. Par contre, les équations différentielles non-linéaires sont trèsdifficiles à manipuler par ces outils. Il s’agit donc d’utiliser de nouveaux outils ; ceux del’analyse fractale, comme dans le cas des équations de Lorenz par exemple.4.2. Les équations de LorenzC’est dans les travaux de E. N. Lorenz ([7]) qu’apparaît, pour la première fois, unattracteur étrange. Il s’est intéressé au comportement d’un fluide en convection : le fluidechaud peut s’élever grâce à sa flottabilité et circuler en mouvement cylindrique. Aprèsune série de simplifications drastiques, E. N. Lorenz fut amené à étudier le système différentielsuivant :dx/dt = σ(y − x)dy/dt = rx − y − xzdz/dt = xy − bz.Le terme x représente la vitesse de rotation du cylindre, z représente la déviation de lapente de température par rapport à la ligne verticale, et y correspond à la différence detempérature entre deux côtés opposés du cylindre. Les paramètres s, b et r, quant à eux,TAMTAM –Tunis– 2005