Tamtam Proceedings - lamsin

Problème de convection en milieu poreux 3611. IntroductionSoit Ω un ouvert de IR 2 de frontière Γ = ∂Ω et soit ⃗n Γ la normale extérieure à Ω. Onmodélise le transport d’un contaminant en milieu poreux par l’équation de conservation.∂c+ div(⃗uc) = 0 dans Ω ,∂tc(., t) = 1 sur Γ − = {(x, y) ∈ ∂Ω | ⃗u · ⃗n Γ < 0},c(., 0) = 0 dans Ω .c(x, y, t) (l’inconnue) est la concentration du contaminant dissout dans l’eau, t ∈ [0, T ],T ∈ IR + , et Γ − représente la frontière amont de Ω par rapport à ⃗u, la vitesse de Darcy del’eau. Celle-ci est solution d’un problème d’écoulement résolu auparavant, par exemple :div ⃗u = 0⃗u = − K ⃗ µ∇p⃗u · ⃗n = g sur Γ Np = p 1 sur Γ Doù K est la perméabilité du milieu poreux et µ la viscosité du fluide, p la pression dans lefluide ,et Γ N et Γ D sont les parties de Γ où une condition de Neumann et une conditionde Dirichlet sont imposées : Γ = Γ N ∪ Γ D .2. Discrétisation avec utilisation d’un pas de temps uniquePour simplifier on se place dans le cadre d’un maillage régulier de rectangle de côtésparalléles aux axes et numérotés j, k, j = 1 : nx et k = 1 : nyOn suppose que Ω =]a, b[×]d, e[ est un ouvert rectangulaire. Soit T h une subdivisionde Ω en carrés T j,k : Ω = (T j,k ) j,k .On discrétise l’intervalle [a, b] en sous intervalles [x j−1/2 , x j+1/2 ] et l’intervalle [d, e] ensous intervalles [y k−1/2 , y k+1/2 ] avecx 1/2 = a ≤ ... ≤ x j ≤ ... ≤ b et h x = x j+1/2 − x j−1/2 ,y 1/2 = c ≤ ... ≤ y k ≤ ... ≤ d et h y = y k+1/2 − y k−1/2.On approche c par une fonction constante sur chaque maille. En utilisant un schémadécentré amont d’ordre 1 en espace et d’Euler explicite en temps, on obtient :c n+1j,k = cn j,k(1 − ∆th x h y((Qx) j+1/2,k + (Qy) j,k+1/2 )) +c n j−1,k∆t(Qx) j−1/2,k + c n ∆tj,k−1 (Qy) j,k−1/2 . (1)h x h y h x h yTAMTAM –Tunis– 2005